वर्ग और वर्गमूल
NCERT अभ्यास 6.4
Part 2
प्रश्न 4: निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में न्यूनतम संख्या क्या घटाई जाए कि एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए। इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
(a) 402
उत्तर:
| 2 2 | 402 4 | 2 |
| 4 | 002 |
यहाँ साफ है कि यदि दिए गए अंक से 2 घटाया जाए तो 400 मिलेगा जो कि एक पूर्ण वर्ग है।
(b) 1989
उत्तर:
| 4 4 | 1989 16 | 4 |
| 8 | 389 |
यहाँ, `84 xx 4 = 336` जो 389 से कम है।
और, `85 xx 5 = 425`, जो 389 से अधिक है
इसलिए अभीष्ट अंतर `= 389 - 336 = 53`
इसलिए, `1989 - 53 = 1936` एक पूर्ण वर्ग है।
(c) 3250
उत्तर:
| 5 5 | 3250 25 | 5 |
| 10 | 750 |
यहाँ, `107 xx 7 = 749` जो 750 से कम है
और `108 xx 8 = 864` जो 750 से अधिक है
इसलिए अभीष्ट अंतर `= 750 - 749 = 1`
इसलिए `3250 - 1 = 3249` एक पूर्ण वर्ग है
(d) 825
उत्तर:
| 2 2 | 825 4 | 2 |
| 4 | 425 |
यहाँ, `48 xx 8 = 384` जो 425 से कम है
और `49 xx 9 = 441` जो 425 से अधिक है
इसलिए अभीष्ट अंतर `= 425 - 384 = 41`
इसलिए `825 - 41 = 784` एक पूर्ण वर्ग है
(e) 4000
उत्तर:
| 6 6 | 4000 36 | 6 |
| 12 | 400 |
यहाँ, `123 xx 3 = 369` जो 400 से कम है
और `124 xx 4 = 496` जो 400 से अधिक है
इसलिए अभीष्ट अंतर `= 400 - 369 = 31`
इसलिए `4000 - 31 = 3969` एक पूर्ण वर्ग है
प्रश्न 5: निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में कम से कम कितना जोड़ा जाए कि एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए। इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
(a) 525
उत्तर:
| 2 2 | 525 4 | 2 |
| 4 | 125 |
यहाँ, `43 xx 3 = 129` जो 125 से अधिक है
और `42 xx 2 = 84` जो 125 से कम है
जोड़ी जाने वाली संख्या `= 129 - 125 = 4`
इसलिए `525 + 4 = 529` एक पूर्ण वर्ग है
(b) 1750
उत्तर:
| 4 4 | 1750 16 | 4 |
| 8 | 150 |
यहाँ, `81xx1 = 81` जो 150 से कम है
और `82xx2=164` जो 150 से 14 अधिक है
इसलिए, `1750 + 14 = 1764` एक पूर्ण वर्ग है
(c) 252
उत्तर:
| 1 1 | 252 1 | 1 |
| 2 | 152 | |
यहाँ, `25 xx 5 = 125` जो 152 से कम है
और `26 xx 6 = 156` जो 152 से अधिक है
इसलिए जोड़ी जाने वाली संख्या `= 156 - 152 = 4`
इसलिए, `252 + 4 = 256` एक पूर्ण वर्ग है
(d) 1825
उत्तर:
| 4 4 | 1825 16 | 4 |
| 8 | 225 |
यहाँ, `82 xx 2 = 164` जो 225 से कम है
और `83 xx 3 = 249` जो 225 से अधिक है
इसलिए जोड़ी जाने वाली संख्या `= 249 - 225 = 24`
इसलिए, `1825 + 24 = 1849` एक पूर्ण वर्ग है
(e) 6412
उत्तर:
| 8 8 | 6412 | 8 |
| 16 | 12 | |
यहाँ हमें `161 xx 1 = 161` की जरूरत है
इसलिए जोड़ी जाने वाली संख्या `= 161 - 12 = 149`
इसलिए, `6412 + 149 = 6561` एक पूर्ण वर्ग है
प्रश्न 6: किसी वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल 441 वर्ग मी है।
उत्तर: वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा²
भुजा = क्षेत्रफल का वर्गमूल
`441=3xx3xx7xx7`
या, `sqrt(441)=3xx7=21`
प्रश्न 7: किसी समकोण त्रिभुज ABC में, ∠B = 90
(a) यदि AB = 6 cm, BC = 8 cm है तो AC ज्ञात कीजिए
उत्तर: `= AC^2= AB^2 + BC^2`
`= 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100`
`AC=sqrt(100)=10`
(b) यदि AC = 13 cm, BC = 5 cm है तो AB ज्ञात कीजिए
उत्तर: `AB^2= AC^2- BC^2`
`= 13^2- 5^2= 169 - 25 = 144`
`AB=sqrt(144)=12`
प्रश्न 8: एक माली के पास 1000 पौधे हैं। इन पौधों को वह इस प्रकार लगाना चाहता है कि पंक्तियों की संख्या और कॉलम की संख्या समान रहे। इसके लिए कम से कम पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसकी उसे आवश्यकता हो।
उत्तर:
| 3 3 | 1000 9 | 3 |
| 6 | 100 |
यहाँ, `61xx1=61` जो 100 से कम है
और `62xx2=124` जो 100 से अधिक है
इसलिए अभीष्ट अंतर `= 100-61=39`
पौधों की संख्या `= 1000-39=961`
प्रश्न 9: एक विद्यालय में 500 विद्यार्थी हैं। पी टी के अभ्यास के लिए इन्हें इस तरह से खड़ा किया गया कि पंक्तियों की संख्या कॉलम की संख्या के समान रहे। इस व्यवस्था को बनाने में कितने विद्यार्थियों को बाहर जाना होगा?
उत्तर:
| 2 2 | 500 4 | 2 |
| 4 | 100 |
यहाँ, `42 xx 2 = 84` जो 100 से कम है
और `43 xx 3 = 129` जो 100 से अधिक है
इसलिए अभीष्ट अंतर `= 100 - 84 = 16`
इसलिए इस व्यवस्था को बनाने के लिए 16 विद्यार्थियों को बाहर जाना होगा