घातांक और घात

अभ्यास 12.1

प्रश्न 1: मान ज्ञात कीजिए

(i) 3^-2

उत्तर: `3^(-2)=(1)/(3^2)=1/9`

(ii) `(-4)^(-2)`

उत्तर: `(-4)^(-2)=(1)/(-4)^2=(1)/(16)`

(iii) `(1/2)^(-2)+(1/3)^(-2)+(1/4)^(-2)`

उत्तर: `= 2^+3^2+4^2 = 4+9+16 = 29`

प्रश्न 2: सरल कीजिए और उत्तर को धनात्मक घातांक के रूप में व्यक्त कीजिए

(i) `(-4)^5÷(-4)^8`

उत्तर: `a^m÷a^n=a^(m-n)`

So, `(-4)^5÷(-4)^8`

`=(-4)^(5-3)=(-4)^(-3)`

(ii) `((1)/(2^3))^2`

उत्तर: `(a^m)^n=a^(mn)`

So, `((1)/(2^3))^2`

`=((1)/(2^6)=(1)/(64)`

(iii) `-3^4xx(5/3)^4`

उत्तर: चूँकि 3 का घातांक एक सम संख्या है इसलिए `-3^4=3^4`

इसलिए दी गई राशि को ऐसे लिखा जा सकता है

`3^4xx3^(-4)xx5^4`

`=3^(4-4)xx5^4`

`=3^0xx5^4=1xx5^4=625`

(iv) `(3^(-7)÷3^(-10))xx3^(-5)`

उत्तर: `3^(-7+10-5)=3^(-2)=((1)/(3^2))`

(v) `2^(-3)xx (-7)^(-3)`

उत्तर: `((1)/(2^3))xx((1)/(-7)^3)`

`=(1)/(-14^3)`

प्रश्न 3: मान ज्ञात कीजिए

(i) `(3^0 + 4^(-1)) xx 2^2`

उत्तर: `(3^0 + 4^(-1)) xx 2^2`

`=(1+1/4)xx4=5/4xx4=5`

(ii) `(2^(-1) xx 4^(-1)) ÷ 2^(-2)`

उत्तर: `=(1/2xx1/4)÷1/4`

`=1/2xx1/4xx4=1/2`

(iii) `(1/2)^(-2)+(1/3)^(-2)+(1/4)^(-2)`

उत्तर: `=2^2+3^2+4^2`

`=4+9+16=29`

(iv) `(3^(-1)+4^(-1)+(5^-1)^0`

उत्तर: हम जानते हैं कि `a^0=1`

So, `(3^(-1)+4^(-1)+(5^-1)^0=1`

(v) `[((-2)/(3))^(-2)]^2`

उत्तर: `=((3^2)/(2^2))^2`

`=(3^4)/(2^4)=(81)/(16)`

प्रश्न 4: मान ज्ञात कीजिए

(i) `(8^(-1)xx5^3)/(2^(-4))`

उत्तर: `=((2^3)^(-1)xx5^3)/(2^(-4))`

`=2^(-3)xx2^4xx5^3`

`=2^(-3+4)xx5^3=2^1xx5^3=5^3`

(ii) `(5^(-1)xx2^(-1))xx6^(-1)`

उत्तर: `=1/5xx1/2xx1/6=(1)/(60)`

प्रश्न 5: m का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए `5^m ÷ 5^(-3) = 5^5`

उत्तर: `a^5 = a^(m-n)`

यहाँ, `m-n = 5` और `n = -3`

इसलिए, `m = 5+(-3)=2`

प्रश्न 6: मान ज्ञात कीजिए

(i) `((1/3)^(-1)-(1/4)^(-1))^(-1)`

उत्तर: `=(3-4)^(-1)=-1^(-1)=-1`

(ii) `(5/8)^(-7)xx(8/5)^(-4)`

उत्तर: `=(8/5)^7xx(5/8)^4`

`=(8^7)/(8^4)xx(5^4)/(5^7)`

`=(8^3)/(5^3)=(512)/(125)`