क्षेत्रमिति

NCERT अभ्यास 11.4

प्रश्न 1: आपको एक बेलनाकार टैंक दिया हुआ है, निम्नलिखित में से किस स्थिति में आप उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे और किस स्थिति में आयतन

(a) यह ज्ञात करने के लिए कि इसमें कितना पानी रखा जा सकता है।

उत्तर: आयतन

(b) इसका प्लास्टर करने के लिए वांछित सीमेंट बोरियों की संख्या।

उत्तर: पृष्ठीय क्षेत्रफल

(c) इसमें भरे पानी से भरे जाने वाले छोटे टैंकों की संख्या।

उत्तर: आयतन

प्रश्न 2: बेलन A का व्यास 7 सेमी और ऊँचाई 14 सेमी है। बेलन B का व्यास 14 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है। परिकलन किए बिना क्या आप बता सकते हैं कि इन दोनों में किसका आयतन अधिक है। दोनों बेलनों का आयतन ज्ञात करते हुए इसका सत्यापन कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या अधिक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है।

उत्तर: बेलन A की त्रिज्या बेलन B की त्रिज्या की आधी है इसलिए इसका आयतन B के आयतन से कम होगा। हालाँकि बेलन B की ऊँचाई बेलन A की ऊँचाई की आधी है। लेकिन हम जानते हैं कि बेलन का आयतन निकालते समय हम त्रिज्या का वर्ग निकालते हैं, इसलिए आयतन पर त्रिज्या को आधा या दूना करने का प्रभाव अधिक पड़ता है।

बेलन का आयतन `=πxx\r^2xx\h`

बेलन A का आयतन `=(22)/(7)xx7/2xx7/2xx14=539` घन सेमी

बेलन B का आयतन `=(22)/(7)xx7xx7xx7=1078` घन सेमी

बेलन का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल `=2πrh`

बेलन A का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल `=2xx(22)/(7)xx7/2xx14=308` वर्ग सेमी

बेलन B का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल `=2xx(22)/(7)xx7xx7=308` वर्ग सेमी

बेलन का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल `=2πr(r+h)`

बेलन A का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल `=2xx(22)/(7)xx7/2(7/22+14)`

`=22xx(35)/(2)=385` वर्ग सेमी

बेलन B का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल`=2xx(22)/(7)xx7xx(7+7)`

`=44xx14=616` वर्ग सेमी

प्रश्न 3: एक ऐसे घनाभ की उँचाई ज्ञात कीजिए जिसके आधार का क्षेत्रफल 180 वर्ग सेमी है और जिसका आयतन 900 घन सेमी है।

उत्तर: आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

इसलिए ऊँचाई = आयतन ÷ क्षेत्रफल

`=(900)/(180)=5` सेमी

प्रश्न 4: एक घनाभ की विमाएँ 60 सेमी X 54 सेमी X 30 सेमी हैं। इस घनाभ के अंदर 6 सेमी भुजा वाले कितने छोटे घन रखे जा सकते हैं?

उत्तर: घनों की संख्या = घनाभ का आयतन ÷ घन का आयतन

`=(60xx54xx30)/(6xx6xx6)`

`=10xx9xx5=450`

प्रश्न 5: एक ऐसे बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 1.54 घन मी और जिसके आधार का व्यास 140 सेमी है।

उत्तर: बेलन का आयतन `=πr^2h`

इसलिए ऊँचाई = आयतन ÷ `(πr^2)`

`=(1.54)/((22)/(7)xx(70)/(100)xx(70)/(100))`

`=(1.54xx100)/(22xx7)=(154)/(154)=1` मी

प्रश्न 6: एक दूध का टैंक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिज्या 1.5 मी और लंबाई 7 मी है। इस टैंक में भरे जा सकने वाले दूध की मात्रा लीटर में ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दूध के टैंक का आयतन `=πr^2h`

`=(22)/(7)xx1/5xx1/5xx7=49.5` घन मी

हम जानते है कि 1 घन मी = 1000 लीटर

इसलिए, 49.5 घन मी = 49500 लीटर

प्रश्न 7: यदि किसी घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए, तो

(a) इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने गुना वृद्धि होगी?

उत्तर: जब किसी आकृति की भुजाएँ दोगुनी हो जाती हैं तो क्षेत्रफल 4 गुणा हो जाता है

(b) इसके आयतन में कितने गुना वृद्धि होगी?

उत्तर: जब किसी आकृति की भुजाएँ दोगुनी हो जाती हैं तो आयतन 8 गुणा हो जाता है

प्रश्न 8: एक कुंड के अंदर 60 लीटर प्रति मिनट की दर से पानी गिर रहा है। यदि कुंड का आयतन 108 घन मी है तो ज्ञात कीजिए कि इस कुंड को भरने में कितने घंटे लगेंगे।

उत्तर: 108 घन मी = 108000 लीटर

समय = आयतन ÷ प्रति मिनट दर

= 108000 ÷ 60 = 1800 मिनट = 30 घंटा