क्षेत्रमिति
NCERT अभ्यास 11.3
प्रश्न 1: दो घनाभाकार डिब्बे हैं जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। किस डिब्बे को बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता है?
उत्तर: घनाभ का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
`=60xx40xx50=12000` घन सेमी
घन का आयतन = भुजा3
`=50^3=125000` घन सेमी
घन का आयतन घनाभ के आयतन से अधिक है। इसलिए घनाभ के आकार के डिब्बे को बनाने के लिए कम सामग्री की जरूरत है।
प्रश्न 2: 80 सेमी X 48 सेमी X 24 सेमी माप वाले एक सूटकेस को तिरपाल के कपड़े से ढ़कना है। ऐसे 100 सूटकेसों को ढ़कने के लिए 96 सेमी चौड़ाई वाले कितने मीटर तिरपाल के कपड़े की आवश्यकता है?
उत्तर: घनाभ का पृष्ठ क्षेत्रफल `=2(lb+lh+bh)`
`= 2(80xx48+80xx24+48xx24)`
`= 2(3840+1920+1152)`
`=2xx6912=13824` वेग सेमी
इसलिए 100 सूटकेसों का पृष्ठ क्षेत्रफल = 1382400 वर्ग सेमी
तिरपाल का क्षेत्रफल इतना ही होगा
तिरपाल की लंबाई `=(1382400)/(96)=14400` सेमी = 14.4 मी
प्रश्न 3: एक ऐसे घन की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 600 वर्ग सेमी है।
उत्तर: घन का पृष्ठ क्षेत्रफल = 6 × भुजा2
या, 600 = 6 × भुजा2
या, भुजा2 = 100 वर्ग सेमी
या, भुजा = 10 सेमी
प्रश्न 4: रुखसार ने 1 मी X 2 मी X 1.5 मी माप वाली एक पेटी को बाहर से पेंट किया। यदि उसने पेटी के तल के अतिरिक्त उसे सभी जगह से पेंट किया हो तो ज्ञात कीजिए कि उसने कितने पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट किया।
उत्तर: पेटी का पृष्ठ क्षेत्रफल `=2(lb+lh+bh)`
`=2(1xx2+1xx1.5+1.5xx2)`
`=2(2+1.5+3)=2xx6.5=13`
तली का क्षेत्रफल = 1 × 2 = 2 वर्ग मी
पेंटिंग किया जाने वाला क्षेत्रफल = 13 - 2 = 11 वर्ग मी
प्रश्न 5: डैनियल एक ऐसे घनाभाकार कमरे की दीवारों और छत को पेंट कर रहा है जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 15 मी, 10 मी एवं 7 मी हैं। पेंट की प्रत्येक कैन की सहायता से 100 वर्ग मी क्षेत्रफल को पेंट किया जा सकता है। तो उस कमरे के लिए उसे पेंट की कितनी कैनों की आवश्यकता होगी?
उत्तर: चारों दीवारों, छत और फर्श का क्षेत्रफल `=2(lb+lh+bh)`
`=2(15xx10+15xx7+10xx7)`
`=2(150+105+70)`
`=2xx 325 = 650` वर्ग मी
फर्श का क्षेत्रफल = 15 × 10 = 150 वर्ग मी
इसलिए पेंट किया जाने वाला क्षेत्रफल = 650 – 150 = 500
एक कैन से 100 वर्ग मी पेंट किया जा सकता है
कैन की संख्या `=(500)/(100)=5`
प्रश्न 6: वर्णन कीजिए कि दाईं तरफ दी गई आकृतियाँ किस प्रकार एक समान हैं और किस प्रकार एक दूसरे से भिन्न हैं? किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है?
उत्तर:
समानता: इनकी विमाएँ समान हैं
अंतर: बाएँ वाली आकृति बेलनाकार है जबकि दाएँ वाली आकृति घनाभाकार है
बेलन का वक्र पृष्ट क्षेत्रफल `=2πrh`
`=2xx(22)/(7)xx7/2xx7`
`=22xx7=154` वर्ग सेमी
घनाभ का पार्श्व पृष्ठ क्षेत्रफल = 4 × भुजा^2
`=4xx7^2=4xx49=196` वर्ग सेमी
यह साफ है कि घनाभ का पार्श्व पृष्ठ क्षेत्रफल अधिक है
प्रश्न 7: 7 मी त्रिज्या और 3 मी ऊँचाई वाला एक बंद बेलनाकार टैंक किसी धातु की एक चादर से बना हुआ है। उसे बनाने के लिए वांछित धातु की चादर की मात्रा ज्ञात कीजिए।
उत्तर: बेलन का पृष्ठ क्षेत्रफल `=2πr(r+h)`
`=2xx(22)/(7)xx7xx(7+3)`
`=44xx10=440` वर्ग सेमी
प्रश्न 8: एक खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4224 वर्ग सेमी है। इसे इसकी उँचाई के अनुदिश काटकर 32 सेमी चौड़ाई की एक आयताकार चादर बनाई जाती है। आयताकार चादर का परिमाप ज्ञात कीजिए।
उत्तर: आयताकार चादर का क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 4224
या, `l\xx33=4224`
या, `l=(4224)/(33)=128` सेमी
चादर का परिमाप = 2 × (128 + 32) = 2 × 160 = 320 सेमी
प्रश्न 9: किसी सड़क को समतल करने के लिए एक सड़क रोलर को सड़क के ऊपर एक बार घूमने के लिए 750 चक्कर लगाने पड़ते हैं। यदि सड़क रोलर का व्यास 84 सेमी और लंबाई 1 मी है तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: एक चक्कर में पहिया अपने वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल के बराबर का क्षेत्र तय करेगा
बेलन का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल `=2πrh`
`=2xx(22)/(7)xx42xx100`
`=26400 वर्ग सेमी = 2.64 वर्ग मी
इसलिए 750 चक्कर में तय किया गया क्षेत्र = 2.64 × 750 = 1980 वर्ग मी
प्रश्न 10: एक कंपनी अपने दूध पाउडर को ऐसे बेलनाकार बर्तनों में पैक करती है जिनका व्यास 14 सेमी और ऊँचाई 20 सेमी है। कंपनी बर्तन के पृष्ठ के चारों ओर एक लेबल लगाती है। यदि यह लेबल बर्तन के तल और शीर्ष से 2 सेमी की दूरी पर चिपकाया जाता है तो लेबल का क्षेत्रफल क्या है?
उत्तर: लेबल द्वारा बनी बेलनाकार आकृति की उँचाई = 20 - 4 = 16 सेमी
बेलन का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल `=2πrh`
`=2xx(22)/(7)xx7xx16=704` वर्ग सेमी