वर्ग और वर्गमूल

NCERT अभ्यास 6.3

Part 2

प्रश्न 5: निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए। इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

(a) 252

उत्तर:

`252=2^2xx3^2xx7`

इस गुणनखंड में 2 और 3 के पावर में सम संख्याएँ हैं। लेकिन 7 के पावर में सम संख्या नहीं है। इसलिए इस अंक को 7 से गुणा करने पर यह पूर्ण वर्ग हो जाएगा।

(b) 180

उत्तर:

`180=2^2xx3^2xx5`

इस गुणनखंड में 2 और 3 के पावर में सम संख्याएँ हैं। लेकिन 5 के पावर में सम संख्या नहीं है। इसलिए इस अंक को 5 से गुणा करने पर यह पूर्ण वर्ग हो जाएगा।

(c) 1008

उत्तर:

`1800=2^4xx3^2xx7`

इस गुणनखंड में 2 और 3 के पावर में सम संख्याएँ हैं। लेकिन 7 के पावर में सम संख्या नहीं है। इसलिए इस अंक को 7 से गुणा करने पर यह पूर्ण वर्ग हो जाएगा।

(d) 2028

उत्तर:

`2028=2^2xx3xx13^2`

इस गुणनखंड में 2 और 13 के पावर में सम संख्याएँ हैं। लेकिन 3 के पावर में सम संख्या नहीं है। इसलिए इस अंक को 3 से गुणा करने पर यह पूर्ण वर्ग हो जाएगा।

(e) 1458

उत्तर:

`1458=2xx3^6`

इस गुणनखंड में 3 के पावर में सम संख्या हैं। लेकिन 2 के पावर में सम संख्या नहीं है। इसलिए इस अंक को 2 से गुणा करने पर यह पूर्ण वर्ग हो जाएगा।

(f) 768

उत्तर:

`768=2^8xx3`

इस गुणनखंड में 2 के पावर में सम संख्या हैं। लेकिन 3 के पावर में सम संख्या नहीं है। इसलिए इस अंक को 3 से गुणा करने पर यह पूर्ण वर्ग हो जाएगा।

प्रश्न 6: निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को भाग देने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए। इस तरह ज्ञात की गई संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

(a) 252

उत्तर:

`252=2^2xx3^2xx7`

इस गुणनखंड में 2 और 3 के पावर में सम संख्याएँ हैं। लेकिन 7 के पावर में सम संख्या नहीं है। इसलिए इस अंक को 7 से भाग देने पर यह पूर्ण वर्ग हो जाएगा।

(b) 2925

उत्तर:

`2925=5^2xx3^2xx13`

इस गुणनखंड में 2 और 3 के पावर में सम संख्याएँ हैं। लेकिन 13 के पावर में सम संख्या नहीं है। इसलिए इस अंक को 13 से भाग देने पर यह पूर्ण वर्ग हो जाएगा।

(c) 396

उत्तर:

`396=2^3xx7^2`

इस गुणनखंड में 7 के पावर में सम संख्या हैं। लेकिन 2 के पावर में सम संख्या नहीं है। इसलिए इस अंक को 2 से भाग देने पर यह पूर्ण वर्ग हो जाएगा।

(d) 2645

उत्तर:

`2645=5xx23^2`

इस गुणनखंड में 23 के पावर में सम संख्या हैं। लेकिन 5 के पावर में सम संख्या नहीं है। इसलिए इस अंक को 5 से भाग देने पर यह पूर्ण वर्ग हो जाएगा।

(e) 2800

उत्तर:

`2800=2^4xx5^2xx7`

इस गुणनखंड में 2 और 5 के पावर में सम संख्याएँ हैं। लेकिन 7 के पावर में सम संख्या नहीं है। इसलिए इस अंक को 7 से भाग देने पर यह पूर्ण वर्ग हो जाएगा।

(f) 1620

उत्तर:

`1620=2^2xx3^4xx5`

इस गुणनखंड में 2 और 3 के पावर में सम संख्याएँ हैं। लेकिन 5 के पावर में सम संख्या नहीं है। इसलिए इस अंक को 5 से भाग देने पर यह पूर्ण वर्ग हो जाएगा।

प्रश्न 7: एक विद्यालय में कक्षा आठ के सभी विद्यार्थियों ने प्रधानमंत्री राष्ट्रीय राहत कोष में 2401 रु दान में दिए। प्रत्येक विद्यार्थी ने उतने ही रुपए दान में दिए जितने कक्षा में विद्यार्थी थे। कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ पर हमें 2401 का वर्गमूल निकालना होगा

`2401=7^4`

`sqrt(2401)=7^2=49`

प्रश्न 8: एक बाग में 2025 पौधे इस प्रकार लगाए जाने हैं कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पौधे हों, जितनी पंक्तियों की संख्या हो। पंक्तियों की संख्या और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ पर हमें 2025 का वर्गमूल निकालना होगा।

`2025=3^4xx5^2`

`sqrt(2025)=3^2xx5=45`

प्रश्न 9: वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4, 9 और 10 प्रत्येक से विभाजित हो जाए।

उत्तर: सबसे पहले 4, 9 और 10 का लघुत्तम निकालेंगे।

लघुत्तम `=2^2xx3^2xx5`

यहाँ पर 2 और 3 के पावर में सम संख्याएँ हैं, लेकिन 5 के पावर में सम संख्या नहीं है। यदि इस अंक को हम 5 से गुना करें तो पूर्ण वर्ग प्राप्त होगा और वह संख्या 4, 9 और 10 तीनों से विभाजित होगी।

इसलिए अभीष्ट संख्या `=2^2xx3^2xx5xx5=4xx9xx25=900`

प्रश्न 10: वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो प्रत्येक 8, 15 और 10 से विभाजित हो जाए।

उत्तर: सबसे पहले 8, 15 और 10 का लघुत्तम निकालेंगे

लघुत्तम `=2^3xx3xx5`

इस लघुत्तम में 2, 3 या 5 किसी भी संख्या का पावर सम संख्या नहीं है। इसलिए इस संख्या को 2, 3 और 5 के गुणनफल यानि 30 से गुणा करने पर पूर्ण वर्ग मिलेगा।

इसलिए अभीष्ट संख्या `=2^3xx2xx3xx3xx5xx5=3600`