पृष्ठीय क्षेत्रफल
अभ्यास 13.2
प्रश्न 1: ऊँचाई 14 सेमी वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 वर्ग सेमी है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
उत्तर: बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 88 sq cm, h = 14 cm
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `= 2πr\h`
या, `2 πr\xx14=88`
या, `2r=(88xx7)/(22xx14)= 2`
या, व्यास = 2 cm
प्रश्न 2: धातु की एक चादर से 1 मी ऊँची और 140 सेमी व्यास के आधार वाली एक बंद बेलनाकार टंकी बनाई जाती है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी?
उत्तर: व्यास = 140 cm इसलिए, r = 70 cm, h = 100 cm
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2πr\h=2xx(22)/7xx70xx100= 44000` sq cm
आधार और शिखर का क्षेत्रफल `=2πr^2=2xx(22)/7xx70xx70=30800` sq cm
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 44000 + 30800= 74800 sq cm = 7.48 sq m
प्रश्न 3: धातु का एक पाइप 77 सेमी लम्बा है। इसके एक अनुप्रस्थ काट का आंतरिक व्यास 4 सेमी है और बाहरी व्यास 4.4 सेमी है। ज्ञात कीजिए:
(a) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
उत्तर: h = 77 cm, r1 = 2 cm, r2 = 2.2 cm
आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2πr\h=2xx(22)/7xx2xx77=968` sq cm
(b) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
उत्तर: बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2πr\h=2xx(22)/7xx2.2xx77=1064.8` sq cm
(c) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
उत्तर: शिखर का क्षेत्रफल `=πr_2^2-πr_1^2`
`=π(r_2^2-r_1^2)`
`=π(r_2+r_1)(r_2-r_1)`
`=π(2.2+2)(2.2–2)`
`=(22)/7xx4.2xx0.2=2.64` = आधार का क्षेत्रफल
इसलिए, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 968 + 1064.8 + 2.64 + 2.64 = 2038.04 sq cm
प्रश्न 4: एक रॉलर का व्यास 84 सेमी है और लम्बाई 120 सेमी है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का वर्ग मी में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: d = 84 cm, h = 120 cm
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=πd\h`
`=(22)/7xx84xx120=31680` sq cm = 3.168 sq m
इसलिए मैदान का क्षेत्रफल `=3.168xx500=1584` sq m
प्रश्न 5: किसी बेलनाकार स्तंभ का व्यास 50 सेमी है और ऊँचाई 3.5 मी है। 12.50 रु प्रति वर्ग मी की दर से इस स्तंभ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
उत्तर: d = 50 cm = 0.5 m, h = 3.5 m
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=πd\h`
`=(22)/7xx0.5xx3.5=5.5` sq m
खर्च = क्षेत्रफल `xx` दर
`=5.5xx12.50` = रु 68.75
प्रश्न 6: एक लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 वर्ग मी है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 मी है, तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4.4 sq m, r = 0.7 m, h = ?
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2πr\h`
या, `2xx(22)/7xx0.7xx\h=4.4`
या, `4.4h=4.4`
या, `h=(4.4)/(4.4)=1` m
प्रश्न 7: किसी वृत्ताकार कुएँ का आंतरिक व्यास 3.5 मी है और यह 10 मी गहरा है। ज्ञात कीजिए:
- आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
- 40 रु प्रति वर्ग मी की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय।
उत्तर: d = 3.5 m. h = 10 m
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=πd\h`
`=(22)/7xx3.5xx10=110` sq m
खर्च = क्षेत्रफल `xx` दर
`=110xx40` = रु 4400
प्रश्न 8: गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयंत्र में 28 मी लंबाई और 5 सेमी व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयंत्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है?
उत्तर: h = 28 m, d = 5 cm = 0.05 m
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=πd\h`
`=(22)/7xx0.05xx28=4.4` sq m
प्रश्न 9: ज्ञात कीजिए:
(a) एक बेलनाकार पेट्रोल की बंद टंकी का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास 4.2 मी है और ऊँचाई 4.5 मी है।
उत्तर: d = 4.2 m इसलिए, r = 2.1 m, h = 4.5 m
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=πd\h`
`=(22)/7xx4.2xx4.5=59.40` sq m
बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2πr(r+h)`
`=2xx(22)/7xx2.1(2.1+4.5)`
`=2xx(22)/7xx2.1xx6.6=87.12` sq m
(b) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात लगा होगा, यदि कुल इस्पात का `1/(12)` भाग बनाने में नष्ट हो गया है?
उत्तर: चूँकि स्टील का `1/(12)` हिस्सा बेकार चला जाता है, इसलिए स्टील का `(11)/(12)` का इस्तेमाल टंकी को बनाने में होता है।
इस्तेमाल हुई पूरी स्टील की मात्रा `=87.12xx(12)/(11)=95.04` sq m
प्रश्न 10: इस आकृति में, आप एक लैंपशेड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढ़का जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 सेमी है और ऊँचाई 30 सेमी है। फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर 2.5 सेमी अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैंपशेड को ढ़कने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी?
उत्तर: d = 20 cm, h = 30 cm, अतिरिक्त कपड़ा = 2.5 cm
सही h = 30 + 2.5 + 2.5 = 35 cm
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2πr\h`
`=2xx(22)/7xx20xx35=2200` sq cm
प्रश्न 11: किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3 सेमी त्रिज्या और 10.5 सेमी ऊँचाई का होना था। विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। इसमें 25 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा?
उत्तर: r = 3 cm, h = 10.5 cm, कलमदानों की संख्या = 35
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=2πr\h`
`=2xx(22)/7xx3xx10.5=198` sq cm
इसलिए, 35 बेलनों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल `=198xx35=6930` sq cm
आधार का क्षेत्रफल `=πr^2`
`=(22)/7xx3^2=(22)/7xx9`
इसलिए 35 आधारों का क्षेत्रफल `=35xx(22)/7xx9=990` sq cm
जरूरी कार्डबोर्ड का क्षेत्रफल = 6930 + 990 = 7920 sq cm