त्रिकोणमिति

ऊँचाई और दूरी

अभ्यास 9 Part 5

प्रश्न 14: 1.2 मी लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 मी की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है। इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस आकृति में; BF = 1.2 m AG = 88.2 m, AC = AG – GC = 88.2 – 1.2 = 87 m ∠EBD = 30° और ∠ABC = 60°, हमें CD का मान निकालना है।

Δ ABC में;
`text(tan) 60°=p/b`
या, `sqrt3=(87)/(BC)`
या, `BC=(87)/(sqrt3`

Δ EBD में;
`text(tan) 30°=p/b`
या, `(1)/(sqrt3)=(87)/(BD)`
या, `BD=87sqrt3`

गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी:
`CD=BD-BC`
या, `CD=87sqrt3-(87)/(sqrt3)`
`=(87xx3-87)/(sqrt3)=(174)/(sqrt3)`
`=58sqrt3 m`

प्रश्न 15: एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाती है। छ: सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस आकृति में; ∠ADB = 30°, ∠ACB = 60° और D से C तक पहुँचने में लगा समय = 6 सेकंड। हमें C से B तक पहुँचने में लगे समय का पता करना है।

Δ ABD में;
`text(tan) 30°=p/b`
या, `(1)/(sqrt3)=(AB)/(BD)`
या, `AB=(BD)/(sqrt3)` --------- (1)

Δ ABC में;
`text(tan) 60°=p/b`
या, `sqrt3=(AB)/(BC)`
या, `AB=BCsqrt3` ----------- (2)

समीकरण (1) और (2) से;
`(BD)/(sqrt3)=BCsqrt3`
या, `(BC+6)/(sqrt3)=BCsqrt3`
या, `3BC=BC+6`
या, `2BC=6`
या, `BC=3`

C से B तक पहुँचने में लगा समय = 6 सेकंड

प्रश्न 16: मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मी और 9 मी की दूरी पर स्थित दो बिंदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मी है।

उत्तर: इस आकृति में; ∠ADB = θ and ∠ACB = 90°-θ

Δ ABD में;
`text(tan) θ=(AB)/(DB)`
या, `text(tan) θ=(AB)/(9)` -------(1)

Δ ABC में;
`text(tan)(90°-θ)=(AB)/(BC)`
या, `text(cot) θ=(AB)/(4)` ---------(2)

हम जानते हैं;
`text(cot) θ=(1)/(text(tan) θ)`

इसलिए;
`(AB)/(4)=(9)/(AB)`
या, `(AB)^2=9xx4=36`
या, `AB=sqrt(36)=6 m` सिद्ध हुआ।