गुणनखंड

NCERT अभ्यास 14.2

प्रश्न 1: निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए

(i) `a^2+8a+16`

उत्तर: इस व्यंजक को इस आइडेंटिटी का इस्तेमाल करके गुणनखंड निकाला जा सकता है

`(a+b)^2=a^2+2ab+b^2`

गुणनखंड `=(a+4)^2=(a+4)(a+4)`

(ii) `p^2-10p+25`

उत्तर: इस व्यंजक को इस आइडेंटिटी का इस्तेमाल करते हुए गुणनखंड निकाला जा सकता है

`(a–b^2=a^2–2ab+b^2`

गुणनखंड `=(p–5)^2`

(iii) `25m^2+30m+9`

उत्तर: `=(5m–3)^2`

(iv) `49y^2+84yz+36z^2`

उत्तर: `(7y+6z)^2`

(v) `4x^2-8x+4`

उत्तर: `(2x–2)^2`

(vi) `121b^2-88bc+16c^2`

उत्तर: `(11b–4c)^2`

(vii) `(l+ m)^2-4lm`

उत्तर: `l^2+m^2+2lm-4lm`

`l^2+m^2-2lm=(l+m)^2`

(viii) `a^4+2a^2b^2+b^4`

उत्तर: इसे इस आइडेंटिटी का इस्तेमाल करके हल किया जा सकता है `(a+b)^2=a^2+2ab+b^2`

इसलिए, `a^4+2a^2b^2+b^4`

`=(a^2+b^2)^2`

प्रश्न 2: गुणनखंड कीजिए

(i) `4p^2 - 9q^2`

उत्तर: इसे इस आइडेंटिटी का इस्तेमाल करके हल किया जा सकता है

`(a+b)(a–b)=a^2–b^2`

गुणनखंड `=(2p+3q)(2p–3q)`

(ii) `63a^2-112b^2`

उत्तर: `63a^2–112b^2=7(9a^2–16b^2)`

`=7(3a+4b)(3a–4b)`

(iii) `49x^2-36`

उत्तर: `(7x+6)(7x–6)`

(iv) `16x^5-144x^3`

उत्तर: `16x^5-144x^3`

`= x^3(16x^2-144)`

`= x^3(4x+12)(4x-12)`

(v) `(l+m)^2-(l-m)^2`

उत्तर: `(l+m+l–m)(l+m–l+m)`

`2l\xx2m=4lm`

(vi) `9x^2y^2-16`

उत्तर: `(3xy+4)(3xy–4)`

(vii) `(x^2-2xy+y^2)-z^2`

उत्तर: `(x^2–2xy+y^2)–z^2`

`=(x–y)^2–z^2`

`= (x–y+z)(x–y–z)`

(viii) `25a^2-4b^2+28bc-49c^2`

उत्तर: `25a^2–4b^2+28bc–49c^2`

`=(5a)^2–(2b)^2+2xx2b\xx7c–(7c)^2`

`=(5a)^2–[(2b)^2–2xx2b\xx7c+(7c)^2]`

`=(5a)^2–(2b–7c)^2`

अब आइडेंटिटी `(a+b)(a–b)=a^2–b^2` का इस्तेमाल करते हुए

`=(5a+2b–7c)(5a–2b+7c)`

प्रश्न 3: निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए

(i) `ax^2+bx`

उत्तर: `x(ax+b)`

(ii) `7p^2+21q^2`

उत्तर: `7(p^2+3q^2)`

(iii) `2x^3+2xy^2+2xz^2`

उत्तर: `2x^3+2xy^2+2xz^2`

`=2x(x^2+y^2+z^2)`

(iv) `am^2+bm^2+bn^2+an^2`

उत्तर: `a(m^2+n^2)+b(m^2+n^2)`

`=(a+b)(m^2+n^2)`

(v) `(lm+l)+m+1`

उत्तर: `l(m+1)+1(m+1)`

`=(l+1)(m+1)`

(vi) `y(y+z)+9(y+z)`

उत्तर: `(y+9)(y+z)`

(vii) `5y^2-20y-8z+2yz`

उत्तर: `5y(y+4)+2z(y+4)`

`=(5+2z)(y+4)`

(viii) `10ab+4a+5b+2`

उत्तर: `5b+10ab+2+4a`

`=5b(1+2a)+2(1+2a)`

`=(5b+2)(1+2a)`

(ix) `6xy-4y+6-9x`

उत्तर: `6xy–4y–9x+6`

`=2y(3x–2)-3(3x-2)`

`=(2y –3)(3x–2)`

प्रश्न 4: गुणनखंड कीजिए

(i) `a^4-b^4`

उत्तर: `a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)`

(ii) `p^4-81`

उत्तर: `=(p^2+9)(p^2-9)`

(iii) `x^4-(y+z)^4`

उत्तर: `x^4-(y+z)^4`

`=(x^2+(y+z)^2)(x^2-(y+z)^2)`

`=(x^2+(y+z)^2)[(x+y+z)(x-y-z)]`

(iv) `x^4-(x-z)^4`

उत्तर: `x^4-(x-z)^4`

`=(x^2-(x-z)^2)(x^2+(x-z)^2)`

`=[(x+x-z)(x-x+z)][x^2+(x-z)^2]`

(v) `a^4-2a^2b^2+b^4`

उत्तर: `a^4–2a^2b^2+b^4`

इसे इस आइडेंटिटी का इस्तेमाल करके हल किया जा सकता है

`(a-b)^2=a^2–2ab+b^2`

गुणनखंड `=(a^2–b^2)^2=(a^2–b^2)(a^2–b^2)`

प्रश्न 5: निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए

(i) `p^2+6p+8`

उत्तर: `p^2+6p+8`

`=p(p+6)+8`

(ii) `q^2-10q+21`

उत्तर: `q^2-10q+21`

`= q(q-10)+21`

(iii) `p^2+6p-16`

उत्तर: `p^2+6p-16`

`=p(p+6)-16`