त्रिभुज के गुण
अभ्यास 6.5
प्रश्न 1: PQR एक त्रिभुज है जिसका ∠P एक समकोण है। यदि PQ = 10cm तथा PR = 24cm तब QR ज्ञात कीजिए।
उत्तर: पाइथागोरस के सिद्धांत के अनुसार,
`QR^2=PQ^2+PR^2`
`QR^2=10^2+24^2`
`QR^2=100+576=676`
`QR=sqrt(676)=26`
प्रश्न 2: ABC एक त्रिभुज है जिसका ∠C एक समकोण है। यदि AB = 25 cm तथा AC = 7 cm तब BC ज्ञात कीजिए।
उत्तर: पाइथागोरस के सिद्धांत के अनुसार,
`AC^2=AB^2+BC^2`
`BC^2=AC^2-AB^2`
`BC^2=25^2-7^2`
`BC^2=625-49=576`
`BC=sqrt(576)=24`
प्रश्न 3: दीवार के सहारे उसके पैर कुछ दूरी पर टिका कर 15 m लंबी एक सीढ़ी भूमि से 12 m ऊँचाई पर स्थित खिड़की तक पहुँच जाती है। दीवार से सीढ़ी के पैर की दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर: पाइथागोरस के सिद्धांत के अनुसार,
`a^2=15^2-12^2`
`a^2=225-144=81`
`a=sqrt(81)=9`
प्रश्न 4: निम्नलिखित में भुजाओं के कौन से समूह एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं? समकोण त्रिभुज होने की स्थिति में उसके समकोण को भी पहचानिए।
(a) 2.5 cm, 6.5 cm, 6 cm
उत्तर: पाइथागोरस के सिद्धांत के अनुसार,
`6.5^2=2.5^2+6^2`
`42.25=6.25+36.25`
`42.25=42.25`
चूँकि समीकरण के दोनों तरफ बराबर अंक हैं। इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है। समकोण हमेशा दो छोटी भुजाओं के बीच बनता है।
(b) 2 cm, 2 cm, 5 cm
उत्तर: पाइथागोरस के सिद्धांत के अनुसार,
`5^2=2^2+2^2`
`25=4+4`
`25=8`
चूँकि समीकरण के दोनों तरफ बराबर अंक नहीं हैं। इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज नहीं है।
(c) 1.5 cm, 2 cm, 2.5 cm
उत्तर: पाइथागोरस के सिद्धांत के अनुसार,
`2.5^2=1.5^2+2^2`
`6.25=2.25+4`
`6.25=6.25`
चूँकि समीकरण के दोनों तरफ बराबर अंक हैं। इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है। समकोण हमेशा दो छोटी भुजाओं के बीच बनता है।
प्रश्न 5: एक पेड़ भूमि से 5 m की ऊँचाई पर टूट जाता है और उसका ऊपरी सिरा भूमि को उसके आधार से 12 m की दूरी पर छूता है। पेड़ की पूरी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर: पेड़ का निचला हिस्सा भूमि से समकोण बनाता है। आधार से ऊपरी सिरे की दूरी समकोण त्रिभुज का आधार बनाएगा। पेड़ का ऊपर से टूटा हुआ हिस्सा उस त्रिभुज का कर्ण बनाएगा।
अब, पाइथागोरस के सिद्धांत के अनुसार,
कर्ण2 `=12^2+5^2`
`=144+25=169`
इसलिए कर्ण `sqrt(169)=13`
प्रश्न 6: त्रिभुज PQR में कोण Q = 25˚ और कोण R = 65˚ है। निम्नलिखित में कौन सा कथन सत्य है?
- `PQ^2+ QR^2=RP^2`
- `PQ^2+RP^2 = QR^2`
- `RP^2+QR^2=PQ^2`
उत्तर: इस प्रश्न में दिए गए दो कोणों का योग 25 + 65 = 90 है। इसका मतलब है कि त्रिभुज का तीसरा कोण एक समकोण है और यह एक समकोण त्रिभुज है।
त्रिभुज के कर्ण = QR, आधार = PQ और ऊँचाई = PR
इसलिए दूसरा विकल्प सही है।
प्रश्न 7: एक आयत की लम्बाई 40 cm है तथा उसका एक विकर्ण 41 cm है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
उत्तर: आयत की चौड़ाई निकालने के लिए पाइथागोरस के सिद्धांत का इस्तेमाल करते हैं।
चौड़ाई2 `=41^2-40^2`
`=1681-1600=81`
चौड़ाई `=sqrt(81)=9` cm
परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)
`=2(40+9)=2xx49=98` cm
प्रश्न 8: एक समचतुर्भुज के विकर्ण 16 cm तथा 30 cm हैं। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
उत्तर: समचतुर्भुज के विकर्ण आपस में समकोण पर एक दूसरे को दो बराबर भागों में बाँटते हैं। इस तरह से चार बराबर आकार के समकोण त्रिभुज बनते हैं जिसके आधार और ऊँचाई विकर्णों के आधे होते हैं। समचतुर्भुज की भुजा उस समकोण त्रिभुज का कर्ण होती है।
समकोण त्रिभुज का आधार = 30 ÷ 2 = 15 cm
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = 16 ÷ 2 = 8 cm
इसलिए, कर्ण2 `=15^2+8^2`
`=225+64=289`
इसलिए, कर्ण `=sqrt(289)=17` cm
समचतुर्भुज की भुजा = 17 cm
परिमाप `=4xx17=68` cm