पूर्णांक

अभ्यास 1.1

प्रश्न 1: किसी विशिष्ट दिन विभिन्न स्थानों के तापमानों को डिग्री सेल्सियस (°C ) में निम्नलिखित संख्या रेखा द्वारा दर्शाया गया है:

प्रश्न (a): इस संख्या रेखा को देखिए और इस पर अंकित स्थानों के तापमान लिखिए।

उत्तर: अंकित स्थानों के तापमान निम्नलिखित है:

प्रश्न (b): उपर्युक्त स्थानों में से सबसे गर्म और सबसे ठंडे स्थानों के तापमानों में क्या अंतर है?

उत्तर: सबसे गर्म स्थान बैंगलोर का तापमान = 22°C

सबसे ठंडा स्थान लाहुलस्पीती का तापमान = -8°C

दोनों स्थानों के तापमान का अंतर = 22°C-(-8°C)= 22°C + 8°C = 30°C

प्रश्न (c): लाहुलस्पिती एवं श्रीनगर के तापमानों में क्या अंतर है?

उत्तर: लाहुलस्पीती का तापमान= -8°C

श्रीनगर का तापमान = -2°C

दोनों स्थानों के तापमान का अंतर = -2°C-(-8°C)= 6°C

प्रश्न (d): क्या हम कह सकते हैं कि शिमला और श्रीनगर के तापमानों का योग शिमला के तापमान से कम है? क्या ये दोनों स्थानों की तापमानों का योग श्रीनगर के तापमान से भी कम है?

उत्तर: शिमला का तापमान =5°C

श्रीनगर का तापमान = -2°C

दोनों के तापमानों का योग = 5°C + (-2°C) = 3°C

चूकि, 3°C < 5°C

इसतरह, शिमला और श्रीनगर के तापामानों का योग शिमला के तापमान से कम है।

चूकि, -2°C < 3°C

इस तरह, शिमला और श्रीनगर के तापमानों का योग श्रीनगर के तापमान से कम नहीं है।

प्रश्न 3: किसी प्रश्नोत्तरी में सही उत्तर के लिए धनात्मक अंक दिए जाते हैं और गलत उत्तर के लिए ऋणात्मक अंक दिए जाते हैं। यदि पाँच उत्तरोतर चक्करों (rounds) में जैक द्वारा प्राप्त किए गए अंक 25, -5, -10, 15 और 10 थे, तो बताइए अंत में उसके अंकों का कुल योग कितना था।

उत्तर: पाँच उत्तरोतर चक्करों में जैक द्वारा प्राप्त किए गए अंक 25, -5, -10, 15 और 10 है।

इस तरह, जैक द्वारा प्राप्त अंकों का कुल योग = 25 + (-5) + (-10) + 15 + 10

= 25 - 5 - 10 + 15 + 10

= 50 - 15 = 35

प्रश्न 4: सोमवार को श्रीनगर का तापमान -5°C था और मंगलवार को तापमान 2°C कम हो गया। मंगलवार को श्रीनगर का तापमान क्या था? बुधवार को तापमान 4°C बढ़ गया। बुधवार को तापमान कितना था?

उत्तर: सोमवार को श्रीनगर का तापमान = -5°°C

चूकि, मंगलवार को श्रीनगर का तापमान 2°C कम हो गया।

इसलिए, मंगलवार को श्रीनगर का तापमान = -5°C-2°C = -7°C

चूकि, बुधवार को श्रीनगर का तापमान 4°C बढ़ गया।

इसलिए, बुधवार का तापमान = -7°C + 4°C = -3°C

इस तरह, श्रीनगर का तापमान मंगलवार को -7°C और बुधवार को -3°C था।

प्रश्न 5: एक हवाई जहाज समुद्र तल से 5000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। एक विशिष्ट बिंदु पर यह हवाई जहाज समुद्रतल से 1200 मीटर नीचे तैरती हुई पनडुब्बी के ठीक ऊपर है। पनडुब्बी और ह्वाई जहाज के बीच की उर्ध्वाधर दूरी कितनी है?

उत्तर: चूकि, समुद्र तल से हवाई जहाज की ऊँचाई = 5000 मीटर

और, समुद्र तल से नीचे तैरती हुई पनडुब्बी की गहराई = 1200 मीटर

इसलिए, पनडुब्बी और हवाई जहाज के बीच की उर्ध्वाधर दूरी = 5000 मीटर + 1200 मीटर

= 6200 मीटर

प्रश्न 6: मोहन अपने बैंक खाते में ₨.2000 जमा करता है और अगले दिन इनमें से ₨.1642 निकाल लेता है। यदि खाते में से निकाली गई राशि को ऋणात्मक संख्या से निरूपित किया जाता है, तो खाते में जमा की गई राशि को आप कैसे निरूपित करोगे? निकासी के बाद मोहन के खाते में शेष राशि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: खाते में जमा की गई राशि को धनात्मक रूप से निरूपित करेंगे।

चूकि, मोहन के बैंक खाते में जमा राशि = ₨.2000

और, उसके खाते से निकाली गई राशि = ₨.1642

इसलिए, उसके खाते में शेष राशि = ₨.2000 - ₨.1642 = ₨.358

प्रश्न 7: रीता बिंदु A से पूर्व की ओर बिंदु B 20 किमी की दूरी तय करती है। उसी सड़क के अनुदिश बिंदु B से वह 30 किमी की पश्चिम की ओर तय करती है। यदि पूर्व की ओर तय की गई दूरी को धनात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है, तो पश्चिम की ओर तय की गई दूरी को आप कैसे निरूपित करोगे? बिंदु A से उसकी अंतिम स्थिति को किस पूर्णांक से निरूपित करोगे?

उत्तर: पश्चिम की ओर तय की गई दूरी को ऋणात्मक रूप से निरूपित करेंगे।

बिंदू A से पूर्व की ओर बिंदु B तक तय की गई दूरी = 20 किमी

बिंदु B से पश्चिम की ओर तय की गई दूरी = -30 किमी

इसलिए A से पश्चिम की ओर तय की गई दूरी = 20 – 30 = -10 किमी

प्रश्न 8: किसी मायावी वर्ग में प्रत्येक पंक्ति, प्रत्येक स्तम्भ एवम्‌ प्रत्येक विकर्ण की संख्याओं का योग समान होता है। बताइए निम्नलिखित में से कौन सा वर्ग एक मायावी वर्ग है?

उत्तर: (i) प्रत्येक पंक्तियों की संख्याओं का योग

पहली पंक्ति का योग = 5 + (-1) + (-4) = 5-5 = 0

दूसरी पंक्ति का योग = (-5) + (-2) + 7 = 7-7 = 0

तीसरी पंक्ति का योग = 0 + 3 + (-3) = 3-3 = 0

प्रत्येक स्तम्भों के संख्याओं का योग

पहला स्तम्भ के संख्याओं का योग = 5 + (-5) + 0 = 5-5 = 0

दूसरा स्तम्भ के संख्याओं का योग = (-1) + (-2) + 3 = 3-3 = 0

तीसरा स्तम्भ के संख्याओं का योग = (-4) + 7 + (-3) = 7-7 = 0

प्रत्येक विकर्ण की संख्याओं का योग

पहला विकर्ण की संख्याओं का योग = 5 + (-2) + (-3) = 5-5 = 0

दूसरा विकर्ण की संख्याओं का योग 0 + (-2) + (-4) = 0-6 = -6

चूकि इस वर्ग में पंक्तियों और स्तम्भों की संख्याओं का योग तो समान है, परंतु विकर्णों की संख्याओं का योग समान नहीं है, इसलिए यह एक मायावी वर्ग नहीं है|

उत्तर: (ii) प्रत्येक पंक्तियों की संख्याओं का योग

पहली पंक्ति का योग = 1 + (-10) + 0 = 1 - 10 = -9

दूसरी पंक्ति का योग = (-4) + (-3) + (-2) = -9

तीसरी पंक्ति का योग = (-6) + 4 + (-7) = -2-7 = -9

प्रत्येक स्तम्भों के संख्याओं का योग

पहला स्तम्भ के संख्याओं का योग = 1 + (-4) + (-6) = 1-10 = -9

दूसरा स्तम्भ के संख्याओं का योग = (-10) + (-3) + 4 = -13 + 4 = -9

तीसरा स्तम्भ के संख्याओं का योग = 0 + (-2) + (-7) = 0-9 = -9

प्रत्येक विकर्ण की संख्याओं का योग

पहला विकर्ण की संख्याओं का योग = 1 + (-3) + (-7) = 1 - 10 = -9

दूसरा विकर्ण की संख्याओं का योग = 0 + (-3) + (-6) = 0-9 = -9

चूकि इस वर्ग में पंक्तियों और स्तम्भों की संख्याओं का योग के साथ विकर्णों की संख्याओं का योग भी समान है, इसलिए यह एक मायावी वर्ग है|

प्रश्न 9: a और b के निम्नलिखित मानों के लिए a-( -b)=a+b का सत्यापन ज्ञात कीजिए:

(a) a = 21, b = 18

उत्तर: a-(-b) = a + b

दिए हुए मान के अनुसार,

LHS = 21-(-18) = 21 + 18 = 39

RHS = 21 + 18 = 39

इस तरह, LHS = RHS सत्यापित है

(b) a = 118, b = 125

उत्तर: a-(-b) = a + b

दिए हुए मान के अनुसार,

LHS = 118-(-125) = 118 + 125 = 243

RHS = 118 + 125 = 243

इस तरह, LHS = RHS सत्यापित है|

(c) a = 75, b = 84

उत्तर: a-(-b) = a + b

दिए हुए मान के अनुसार,

LHS = 75-(-84) = 75 + 84 = 159

RHS = 75 + 84 = 159

इस तरह, LHS = RHS सत्यापित है|

(d) a= 28,b = 11

उत्तर: a-(-b) = a + b

दिए हुए मान के अनुसार,

LHS = 28—11 = 28 + 11 = 39

RHS = 28 + 11 = 39

इस तरह, LHS = RHS सत्यापित है|

प्रश्न 10: निम्नलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए, बॉक्स में संकेत <, > अथवा = का उपयोग कीजिए:

(a) (-8)+ (-4) ☐ (-8)- (-4)

उत्तर: LHS = -8 - 4 = -12

RHS = -8 + 4 = -4

-12 < -4

(b) (-3)+ 7-(19) ☐ 15- 8+(-9)

उत्तर: LHS = -3 + 7 - 19 = -15

RHS = 15 - 8 - 9 = -2

-15 < -2

(c) 23-41+11 ☐ 23-41-11

उत्तर: LHS = 34 - 41 = -7

-7 > -29

(d) 39+(-24)- (15) ☐ 36+(-52)- (-36)

उत्तर: LHS = 39 - 24 -15 = 39 - 39 = 0

RHS = 36 - 52 + 36 = 72 - 52 = 20

0 < 20

(e) – 231+79+51 ☐ -399+159+81

उत्तर: LHS = -231 + 130 = 101

RHS = -399 + 240 = 159

101 < 159

प्रश्न 11: पानी के एक तालाब में अंदर की ओर सीढ़ियाँ हैं। एक बंदर सबसे ऊपरी वाली सीढ़ी (यानी पहली वाली सीढ़ी) पर बैठा हुआ है। पानी नौवीं सीढ़ी पर है।

वह एक छ्लांग में तीन सीढ़ियाँ नीचे की ओर और अगली छलांग में दो सीढ़ियाँ ऊपर की ओर जाता है। कितनी छ्लांगों में वह पानी के स्तर तक पहुँच पाएगा?

उत्तर: माना की बंदर द्वारा नीचे की ओर लगाए छ्लांग धनात्मक पूर्णांक है और ऊपर की ओर लगाए छलांग ऋणात्मक पूर्णांक हैं|

प्रारम्भ में बंदर पहली सीढ़ी (1) पर बैठा है|

उसके बाद, (1) पहली छलांग में बंदर की स्थिति =1 + 3 = 4 वीं सीढ़ी पर होगी

(2) दूसरी छलांग में बंदर की स्थिति = 4 + (-2) = 2 सरी सीढ़ी पर होगी

(3) तीसरी छलांग में बंदर की स्थिति = 2 + 3 = 5 वीं सीढ़ी पर होगी

(4) चौथी छलांग में बंदर की स्थिति = 5 + (-2) = 3 सरी सीढ़ी पर होगी

(5) पाँचवी छलांग में बंदर की स्थिति = 3 + 3 = 6 ठी सीढ़ी पर होगी

(6) छठी छलांग में बंदर की स्थिति = 6 + (-2) = 4 थी सीढ़ी पर होगी

(7) सातवी छलांग में बंदर की स्थिति = 4 + 3 = 7 वीं सीढ़ी पर होगी

(8) आठवीं छलांग में बंदर की स्थिति = 7 + (-2) = 5 वीं सीढ़ी पर होगी

(9) नौवीं छलांग में बंदर की स्थिति = 5 + 3 = 8 वीं सीढ़ी पर होगी

(10) दसवीं छलांग में बंदर की स्थिति = 8 + (-2) = 6 ठी सीढ़ी पर होगी

(11) ग्यारहवीं छलांग में बंदर की स्थिति = 6 + 3 = 9 वीं सीढ़ी पर होगी

ग्यारहवीं छलांगों के बाद बंदर जलस्तर तक पहुंचेगा|

पानी पीने के पश्चात वह वापस जाना चाहता है। इस कार्य में वह एक छलांग में 4 सीढ़ियाँ ऊपर की ओर और अगली छलांग में 2 सीढ़ियाँ नीचे की ओर जाता है। कितनी छलांगों में वह वापस सबसे ऊपर वाली सीढी पर पहुँच पाएगा?

उत्तर: प्रारम्भ में बंदर 9वीं सीढ़ी पर बैठा था

पहली छलांग में बंदर की स्थिति = 9 + (-4) = 5वीं सीढ़ी पर होगी

दूसरी छलांग में बंदर की स्थिति = 5 +2 = 7वीं सीढ़ी पर होगी

तीसरी छलांग में बंदर की स्थिति = 7 + (-4) = 3सरी सीढ़ी पर होगी

चौथी छलांग में बंदर की स्थिति = 3 + 2 = 5वीं सीढ़ी पर होगी

पाँचवीं छलांग में बंदर की स्थिति = 5 + (-4) = 1ली सीढ़ी पर होगी

इस तरह बंदर पाँच छलांग में सबसे ऊपर वाला सीढ़ी पर पहुँच पाएगा|

यदि नीचे की ओर पार की गई सीढ़ियों की संख्या को ऋणात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है और ऊपर की ओर पार की गई सीढ़ियों की संख्या को धनात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है, तो निम्नलिखित को पूरा करते हुए भाग (i) और (ii) में उसकी गति को निरूपित कीजिए:

–3 + 2 +⋯… = -8

उत्तर: चूकि बंदर द्वारा नीचे की ओर पार की गई सीढ़ियों की संख्या को ऋणात्मक पूर्णांक से निरूपित किया गया है और ऊपर की ओर पार की गई सीढ़ियों की संख्या को धनात्मक पूर्णांक से निरूपित किया गया है , तो यहाँ उसकी गति का विवरण इस प्रकार है

– 3 + 2-……= -8

-3 + 2 - 3 + 2 - 3 + 2 - 3 + 2 - 3 + 2 - 3 = -8

-18 + 10 = -8

यहाँ बंदर 8 कदम नीचे जाता है

4-2 + ⋯=8

उत्तर: 4 - 2 + 4 - 2 + 4 - 2 + 4 - 2 = 8

16 - 8 = 8

यहाँ बंदर 8 कदम ऊपर जाता है

यदि योग (– 8) आठ सीढ़ियाँ नीचे जाने को निरूपित करता है, तो योग 8 किसको निरूपित करेगा?

उत्तर: ऊपर जाने को