घातांक और घात

अभ्यास 13.1

प्रश्न 1: निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:

(a) 2⁶

उत्तर: `2^6=2xx2xx2xx2xx2xx2=64`

(b) 9³

उत्तर: `9^3=9xx9xx9=729`

(c) 11²

उत्तर: `11^2=11xx11=121`

(d) 5⁴

उत्तर: `5^4=5xx5xx5xx5=625`

प्रश्न 2: निम्नलिखित को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:

1. `6xx6xx6xx6`
2. `t\xx\t`
3. `b\xx\b\xx\b\xx\b`
4. `5xx5xx7xx7xx7`
5. `2xx2xx\a\xx\a`
6. `a\xx\a\xx\a\xx\c\xx\c\xx\c\xx\c\xx\d`

उत्तर: (i) `6^4`, (ii) `t^2`, (iii) `b^4`, (iv) `5^2xx7^3`, (v) `2^2xx\a^2`

प्रश्न 3: निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को घातांकीय संकेतन में व्यक्त कीजिए:

(a) 512

उत्तर: `512=2xx2xx2xx2xx2xx2xx2xx2xx2``=2^9`

(b) 343

उत्तर: `343 = 7xx7xx7=7^3`

(c) 729

उत्तर: `729=3xx3xx3xx3xx3xx3=3^6`

(d) 3125

उत्तर: `3125=5xx5xx5xx5xx5=5^5`

प्रश्न 4: निम्नलिखित में से प्रत्येक भाग में, जहाँ भी सम्भव हो, बड़ी संख्या को पहचानिए:

(a) 4³ या 3⁴

उत्तर: `4^3=4xx4xx4=64`

`3^4=3xx3xx3xx3=81`

`3^4` > `4^3`

(b) 5³ या 3⁵

उत्तर: `5^3=5xx5xx5=125`

`3^5=3xx3xx3xx3xx3=243`

`3^5>5^3`

(c) 2⁸ या 8²

उत्तर: `8=2xx2xx2=2^3`

`8^2=(2^3)^2=2^6`

`2^8>8^2`

(d) 100² या 2¹⁰⁰

उत्तर: `100^2=(2xx2xx5xx5)^2`

`=(2^2xx5^2)2`

`=2^4xx5^4`

इस गुणनखंड में 5 > 4 और `4=2^2`

यदि यहाँ पर 5 के स्थान पर 8 भी होता तो 8=2^3`

5 के स्थान पर 8 होने की स्थिति में गुणनखंड इस प्रकार होता:

`2^4xx2^3=2^7` जो हर हाल में `2^100` से छोटा होता।

इसलिए, `2^100>100^2`

(e) 2¹⁰ या 10²

उत्तर: `2^10=4^5``=4xx4xx4xx4xx4=1024`

`10^2=100`

`2^10>10^2`

प्रश्न 5: निम्नलिखित में से प्रत्येक को उनके अभाज्य गुणनखंडों की घातो के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।

(a) 648

उत्तर: `648=2xx2xx2xx3xx3xx3xx3`

`=2^3xx3^4`

(b) 405

उत्तर: `405=5xx3xx3xx3xx3``=5xx3^4`

(c) 540

उत्तर: `540=2xx2xx3xx3xx3xx5``=2^2xx3^3xx5`

(d) 3600

उत्तर: `3600=36xx100`

`=4xx9xx4xx25`

`=4xx4xx9xx5xx5`

`=2^4xx3^2xx5^2`

प्रश्न 6: सरल कीजिए:

(a) 2 ×10³

उत्तर: `2xx10^3``=2xx1000=2000`

(b) 7² × 2²

उत्तर: `7^2xx2^2``=49xx4=196`

(c) 2³ × 5

उत्तर: `2^3xx5=8xx5=40`

(d) 3 × 4⁴

उत्तर: `3xx4^4``=3xx256=768`

(d) 0 × 10²

उत्तर: `0xx10^2=0`

(e) 5² × 3³

उत्तर: `5^2xx3^3``=25xx27=675`

(f) 2⁴ × 3²

उत्तर: `2^4xx3^2``=16xx9=144`

(g) 3² × 10⁴

उत्तर: `3^2xx10^4``=9xx10000=90000`

प्रश्न 7: सरल कीजिए:

(a)(-4)³

उत्तर: `(-4)^3=-64`

(b) (-3) × (-2)³

उत्तर: `(-3)xx(-2)^3``=(-3)xx(-8)=24`

(c) (-3)² × (-5)²

उत्तर: `(-3)^2xx(-5)^2``=9xx25=225`

(d) (-2)³ × (-10)³

उत्तर: `(-2)^3xx(-10)^3``=(-8)xx(-1000)=8000`

प्रश्न 8: निम्नलिखित संख्याओं की तुलना कीजिए:

(a) 2.7 × 10¹², 1.5 × 10⁸

उत्तर: `2.7>1.5`

`10^12>10^8`

`2.7xx10^12>1.5xx10^8`

(b) 4 × 10¹⁴, 3 × 10¹⁷

उत्तर: `10^14<10^17`

`4xx10^14<3xx10^17`