संख्या पद्धति

अभ्यास 1.3

प्रश्न 1: निम्नलिखित संख्याओं को दशमलव में बदलें और बतायें कि ये किस प्रकार के दशमलव प्रसार हैं।

1. `(36)/(100)`
2. `1/(11)`
3. `41/8`
4. `3/(13)`
5. `2/(11)`
6. `(329)/(400)`

उत्तर: (a) 0.36, (b) 0.90909, (c) 4.125, (d) 0.230769230, (e) 0.1818, (f) 0.8225

जिस संख्या के हर को `2^m\xx5^n` के रुप में व्यक्त किया जा सकता है उस संख्या का दशमलव प्रसार परिमेय होता है। बाकी बची हुई संख्याओं का दशमलव प्रसार अपरिमेय होता है।

उदाहरण: `(36)/(100)` इस संख्या का हर 100 है जिसे `2^m\xx5^n` के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसलिए इस संख्या का दशमलव प्रसार परिमेय होता है।

उदाहरण: `1/(11)` का हर 11 है जिसे `2^m\xx5^n` के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए इस संख्या का दशमलव प्रसार अपरिमेय होता है।

प्रश्न 2: आप जानते हैं कि `1/7=0.142857` होता है। क्या आप बता सकते हैं कि `2/7`, `3/7`, `4/7`, `5/7`, `6/7` के दशमलव प्रसार क्या हैं? यदि हाँ, तो कैसे?

उत्तर: `1/7=0.142857`

`2/7=0.285714`

`3/7=0.428571`

`4/7=0.571428`

`5/7=0.714285`

`6/7=0.857142`

प्रश्न 3: निम्नलिखित को `p/q` के रूप में व्यक्त कीजिए जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है:

(i) 0.6

उत्तर: Given, 0.6 = 0.66666…….
मान लीजिए, `x=0.66666…`

[यहाँ केवल एक अंक की पुनरावृत्ति हो रही है इसलिए x को 10 से गुणा कीजिए]

इसलिए, `10x=10xx6.66666….`
Or, `10x=6+0.66666…`
या, `10x=6+x`
चूँकि, `x=0.66666…`
या, `10x-x=6`
या, `9x=6`
या, `x=6/9=(3xx2)/(3xx3)=2/3`

इसलिए, 0.6 `=2/3`

(ii) 0.47

उत्तर: मान लीजिए x = 0.47
या, `x=0.47777….`

[यहाँ पर एक ही अंक की पुनरावृत्ति हो रही है इसलिए x को 10 से गुणा कीजिए।]

चूँकि `10x=10xx0.477777..`
या, `10x=4.777777…`
या, `10x=4.3+0.4777…`
या, `10x=4.3+x`
चूँकि `x=0.47777…`
या, `10x-x=4.3`
या, `9x=4.3`
या, `x=(4.3)/9`

या, `x=43/90`

(iii) 0.001

उत्तर: मान लीजिए x = 0.001
या, `x=0.001001…`

यहाँ पर तीन संख्याओं की पुनरावृत्ति हो रही है इसलिए x को 1000 से गुणा कीजिए।

या, `1000x=1000xx0.001001…`
या, `1000x=1.001…`
या, `1000x=1+0.001….`
चूँकि `x=0.001001…`
इसलिए, `1000x=1+x`
या, `1000x-x=1`
या, `999x=1`
या, `x=1/999`

प्रश्न 4: 0.99999… को `p/q` के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित हैं? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए 0.9999... = x

यहाँ पर केवल एक संख्या की पुनरावृत्ति हो रही है इसलिए x को 10 से गुणा कीजिए।

`10x=10xx0.9999..`

या, `10x=9.9999…`

चूँकि `0.9999.. = x`

या, `10x=9+x`

या, `10x-x=9`

या, `9x=9`

या, `x=1`

प्रश्न 5: `1/(17)` के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन क्रिया कीजिए।

उत्तर: `1/(17)` = 0.588235294117647

अधिकतम संख्या 16 है।

प्रश्न 6: `p/q` (q ≠ 0) के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए?

उत्तर: जब कोई संख्या `p/q` (q ≠ 0) के रूप में हो और q का मान 2 या 5 या दोनों के गुणनफल के रूप में हो तो उस संख्या का सांत दशमलव प्रसार होता है।

`1/2=0.5` `1//3=0.3333`, `1/4=0.25`, `1/5=0.2`, आदि संख्याओं में `1/3` का दशमलव प्रसार अनवसांत है क्योंकि यहाँ पर q का मान 2 या 5 के गुणनफल के रूप में नहीं है।

प्रश्न 7: ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों।

उत्तर: 0.72012001200012000001………

0.73013001300013000001…………

0.7501500150001500001………..

प्रश्न 8: परिमेय संख्याओं `5/7` और `9/(11)` के बीच की तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 5/7 = 0.714285714285…….. और 9/11 = 0.8181818………

इसलिए इन संख्याओं के बीच की अपरिमेय संख्याएँ

0.72012001200012000001………

0.73013001300013000001…………

0.7501500150001500001………..

नोट: अनवसानी अनावर्ती संख्या को अपरिमेय संख्या कहते हैं।

प्रश्न 9: बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन सी संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं:

1. `sqrt(23)`
2. `sqrt(225)`
3. 0.3796
4. 7.478478…
5. 1.101001000100001….

उत्तर: (b), (c), (d) परिमेय हैं और (a), (b), (e) अपरिमेय हैं