समांतर चतुर्भुज

अभ्यास 3

Part 2

प्रश्न 6: इस आकृति में चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है। यदि है AB = CD , तो दर्शाइए कि

(a) ar(DOC) = ar(AOB)

उत्तर: त्रिभुज DOC और AOB में

DC = AB (दिया गया है)

DO = BO (दिया गया है)

∠DOC = ∠AOB (सम्मुख कोण)

इसलिए, SAS प्रमेय के अनुसार ΔDOC ≅ ΔAOB

इसलिए, ar(DOC) = ar(AOB)

(b) ar(DCB) = ar(ACE)

उत्तर: त्रिभुज DCB और ACB में

DC = AB (दिया गया है)

CB = CB (साझा भुजा)

इसलिए, SSS प्रमेय के अनुसार ΔDCB ≅ ΔACB

इसलिए, ar(DCB) = ar(ACB) सिद्ध हुआ

(c) DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

(संकेत: D और B से Ac पर लम्ब खींचिए।)

उत्तर: यहाँ पर सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं इसलिए यह सिद्ध होता है कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और DA||CB

प्रश्न 7: बिंदु D और E क्रमश: ΔABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar(DBC) = ar(EBC) है। दर्शाइए कि DE || BC है।

उत्तर:

चूँकि ar(DBC) = ar(EBC)

इन त्रिभुजों का एक ही आधार है BC

इसलिए दोनों की ऊँचाई भी एक ही होगी। इसलिए दोनों समांतर रेखाओं के एक ही जोड़े के बीच होंगे।

इसलिए, DE||BC सिद्ध हुआ

प्रश्न 8: XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है। यदि BE || AC और CF ||AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती हैं, तो दर्शाइए कि ar(ABE) = ar(ACF)

उत्तर: BEYC एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि EB||YC (दिया गया है EB||AC) और EY||BC (क्योंकि XY ||BC)

त्रिभुज AEB में और समांतर चतुर्भुज BEYC में

ar(AEB) = `1/2` ar(BEYC) (क्योंकि दोनों समांतर रेखाओं के एक ही जोड़े के बीच हैं)

इसी तरह, ar(ACF) = `1/2` ar(BXFC) (क्योंकि दोनों समांतर रेखाओं के एक ही जोड़े के बीच हैं).

अब, ar(BEYC) = ar(BXFC) (क्योंकि दोनों समांतर रेखाओं के एक ही जोड़े के बीच हैं)

इसलिए, ar(AEB) = ar(ACF) सिद्ध हुआ

प्रश्न 9: समांतर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिंदु P तक बढ़ाया गया है। A से होकर CP के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज को PBQR पूरा किया गया है। दर्शाइए कि ar(ABCD) = ar(PBQR) है।

(संकेत: AC और PQ को मिलाइए। अब ar(ACQ) और ar(APQ) की तुलना कीजिए।

उत्तर:त्रिभुज ACQ और APQ में

दोनों त्रिभुज एक ही आधार AQ पर बने हुए हैं और समांतर रेखाओं AQ||CP के बीच हैं

इसलिए, ar(ACQ) = ar(APQ)

अब, ar(ACQ) – ar(ABQ) = ar(APQ) – ar(ABQ)

या, ar(ABC) = ar(PBQ)

समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC है

इसलिए, ar(ABC) = `1/2` ar(ABCD)

समांतर चतुर्भुज BPRQ का विकर्ण QP है

इसलिए, ar(PBQ) = `1/2`ar(BPRQ)

इसलिए, ar(ABCD) = ar(BPRQ) सिद्ध हुआ

प्रश्न 10: एक समलंब ABCD जिसमें AB||DC है, के विकर्ण Ac और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar(AOD) = ar(BOC) है।

उत्तर: त्रिभुज DAC और CBD एक ही आधार और समांतर रेखाओं के बीच हैं

इसलिए, ar(DAC) = ar(CBD)

अब, ar(DAC) – ar(DOC) = ar(CBD) – ar(DOC)

या, ar(AOD) = ar(BOC) सिद्ध हुआ