बहुपद

अभ्यास 2.5

प्रश्न 1: उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:

(a) `(x+4)(x+10)`

उत्तर: हम जानते हैं, `(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b) x + ab`

यहाँ पर, a = 4 और b = 10

इसलिए, `(x + 4)(x + 10) = x^2 + (4 + 10) x + 4 xx 10`

`= x^2 + 14x + 40`

(b) `(x+8)(x-10)`

उत्तर: यहाँ पर, a = 8 और b = – 10

सर्वसमिका `(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b) x + ab` का इस्तेमाल करने पर दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

`x^2 + (8 +(– 10))x + 8 xx (– 10)`

`= x^2 +(8 – 10)x – 80`

`= x^2 + 2x – 80`

उत्तर: यहाँ पर, x = 3x, a = 4 और b = - 5

सर्वसमिका `(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b) x + ab` का प्रयोग करने पर दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

`(3x)^2 + (4 + (-5)) xx 3x + (4 (- 5)`)

`= 9x^2 + ( 4 – 5)× 3x + (- 20)`

`= 9x^2 + ( - 1) xx 3x – 20`

`= 9x^2 – 3x – 20`

(d) `(y^2+3/2)(y^2-3/2)`

उत्तर: यहाँ पर `a=y^2` and `b=3/2`

सर्वसमिका `(a+b)(a-b)=a^2-b^2` का प्रयोग करने पर दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है।

`(y^2+3/2)(y^2-3/2)=(y^2)^2-(3/2)^2=y^4-9/4`

(e) `(3-2x)(3+2x)`

उत्तर: इस प्रश्न के लिए भी पिछले प्रश्न वाली सर्वसमिका का प्रयोग होगा

`(3-2x)(3+2x)`

`=3^2-(2x)^2=9-4x^2`

प्रश्न 2: सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए:

(a) 103 × 107

उत्तर: सर्वसमिका `(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b) x + ab` का प्रयोग करने पर

`(100+3)(100+7)`

`=100^2+(3+7)100+3xx7`

`=10000+1000+21=11021`

(b) 95 × 96

उत्तर: सर्वसमिका `(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b) x + ab` का प्रयोग करने पर

`(100-5(100-4)`

`=100^2-(5+4)100+5xx4`

`=10000-900+20=9120`

उत्तर: सर्वसमिका `(x+a)(x-a)=x^2-a^2` का प्रयोग करने पर

`(100+4)(100-4)`

`-100^2-4^2=10000-16=9984`

प्रश्न 3: उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:

(a) `9x^2+6xy+y^2`

उत्तर: सर्वसमिका `(a+b)^2=a^2+2ab+b^2` का प्रयोग करने पर:

`9x^2+6xy+y^2=(3x+y)^2`

(b) `4y^2-4y+1`

उत्तर: सर्वसमिका `(a-b)^2=a^2-2ab+b^2` का प्रयोग करने पर:

`4y^2-4y+1=(2y-1)^2`

उत्तर: सर्वसमिका `(a+b)(a-b)=a^2-b^2` का प्रयोग करने पर:

`x^2-(y^2)/(100)=(x+y/(100))(x-y/(100))`

प्रश्न 4: उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार लिखिए:

(a) `(x+2y+4x)^2`

उत्तर: मान लीजिए, a = x, b = 2y और c = 4z

हम जानते हैं, `(a + b + c)^2`

`= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac`

इसलिए दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

`x^2 + 4y^2 + 16z^2 + 4xy + 16yz + 8xz`

(b) `(2x-y+z)^2`

उत्तर: दिया गया है, `(2y – y + z)^2`

`= [2x + (-y) +z]^2`

मान लीजिए, `a = 2x`, `b = - y` और `c = z`

हम जानते हैं `(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc +2ac`,

इसलिए दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

`(2x)^2 + (-y)^2 + z^2 + 2(2x(-y) + 2(-y)z + 2(2xz)`

`= 4x^2 + y^2 + z^2 + 2(-2xy) + 2(-yz) + 4xz`

`= 4x^2+ y^2+z^2-4xy–2yz+4xz`

उत्तर: मान लीजिए, `a= - 2x`, `b = 3y` and `c = 2z`

हम जानते हैं `(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac`

इसलिए दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है

`(-2x)^2 + (3y)^2 + (2z)^2 + 2( - 2x\xx3y) + 2(3y\xx2z) + 2(-2x\xx2z)`

`= 4x^2 + 9y^2 + 4z^2 + 2( - 6xy) + 2(6yz) + 2(-4xz)`

`= 4x^2 + 9y^2 + 4z^2 – 12xy + 12yz – 8xz`

(d) `(3a-7b-c)^2`

उत्तर: मान लीजिए, `a= 3a`, `b = -7b` and `c = -c`

हम जानते हैं `(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac`

इसलिए दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है

`(3a)^2+(-7b)^2+(-c)^2+2(3a)(-7b)+2(-7b)(-c)+2(3a)(-c)`

`=9a^2+49b^2+c^2-42ab+14bc-6ac`

(e) `(-2x+5y-3z)^2`

उत्तर: मान लीजिए, `a = - 2x, b = 5y` और `c = - 3z`

हम जानते हैं `(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac`,

इसलिए दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

`(-2x)^2+(5y)^2+(-3z)^2+2(-2x)xx(5y)+``2(5y)xx(-3z)+2(-2x)xx(-3z)`

`= 4x^2 + 25y^2 + 9z^2 + 2(-10xy) + 2( - 15yz) + 2(6xz)`

`= 4ax^2 + 25y^2 + 9z^2 - 20xy – 30yz + 12xz`

(f) `(1/4a-1/2b+1)^2`

उत्तर: मान लीजिए, x = 1/4a, y = -1/2b and c = 1

हम जानते हैं, `(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz`]

इसलिए दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है।

`(1/4\a)^2+(-1/2\b)^2+1^2+2(1/4\a)xx(-1/2\b)+`

`2(-1/2\bxx1)+2(1/4\axx1)`

`=1/16\a^2+1/4\b^2+1-1/4\ab-b+1/2\a`

प्रश्न 5: गुणनखंडन कीजिए

(a) `4x^2+9y^2+16z^2+12xy-24yz-16xz`

उत्तर: दिया गया है, `4x^2 + 9y^2 + 16z^2 + 12xy - 24yz – 16xz`

`= (2x)^2 + (3y)^2 + ( - 4z)^2`` + 2(2x)xx(3y) + 2(3y)xx(-4z) + 2(2x)xx( - 4z)`

यदि a = 2x, b = 3y और c = - 4z

तो सर्वसमिका `(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac`, का प्रयोग करने पर;

`4x^2 + 9y^2 + 16z^2 + 12xy - 24yz – 16xz`

`= (2x + 3y – 4z)(2x + 3y – 4z)`

`= (2x + 3y – 4z)^2`

(b) `2x^2+y^2+8z^2-2sqrt2xy+4sqrt2yz-8yz`

उत्तर: दिया गया है, `2x^2 + y^2 + 8z^2 - 2sqrt2xy + 4sqrt2yz – 8xz`

इस बहुपद को इस तरह से भी लिखा जा सकता है:

`(-sqrt2x)^2 + y^2 + (2sqrt2z)^2``+2( - sqrt2x)xx(z) + 2(y)xx(2sqrt2z) + 2(sqrt2x)xx(2sqrt2z)`

यदि, `a = -sqrt2x, b = y` और `c = 2sqrt2z` हो तो

सर्वसमिका `(a + b + c)^2`

`= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac` प्रयोग करने पर

`2x^2 + y^2 + 8z^2 - 2sqrt2xy + 4sqrt2yz – 8xz`

`= (- sqrt2x + y + 2sqrt2z)( - sqrt2x + y + 2sqrt2z)`

`= (- sqrt2x + y + 2sqrt2z)^2`

प्रश्न 6: निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए

(a) `(2x+1)^3`

उत्तर: मान लीजिए, a = 2x और b = 1

सर्वसमिका `(a + b)^3= a^3 + b^3 + 3ab (a + b)` का प्रयोग करने पर

दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

`=(2x)^3 + 1^3 + 3xx(2x)xx1(2x + 1)`

`= 8x^3 + 1 + 12x^2 + 6x`

`= 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1`

(b) `(2a-3b)^3`

उत्तर: मान लीजिए, x = 2a और y = 3b

सर्वसमिका `(x – y)^3= x^3 - y^3 - 3yx^2 + 3xy^2` का प्रयोग करने पर

दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है

`(2a)^3 - (3b)^3 - 3(3b)(2a)^2 + 3(2a)(3b)^2`

`= 8a^3 - 27b^3 - (9b) xx 4a^2 + (6a) xx 9b^2`

`= 8a^3 - 27b^3 - 36a^2b + 54ab^2`

उत्तर: मान लीजिए, `a=3/2\x` और `b=1`

सर्वसमिका `(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)` का प्रयोग करने पर

दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

`(3/2\x)^3+1^3+3xx(3/2\x)xx1(3/2\x+1)`

`=27/8\x^3+1+9/2\x(3/2\x+1)`

`=(27x^3)/(8)+1+(27x^2)/(4)+(9x)/(2)`

`=(27x^3)/(8) +(27x^2)/(4)+(9x)/(2) +1`

(d) `(x-2/3y)^3`

उत्तर: मान लीजिए `a=x` और `b=2/3\y`

सर्वसमिका `(x-y)^3=x^3-y^3-3x^2y+3xy^2` का प्रयोग करने पर

दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

`x^3-(2/3\y)^3-3x^2(2/3\y)+3x(2/3\y)^2`

`=x^3-(8y^3)/(27)-2x^2y+(3x)xx(4y^2)/(9)`

`= x^3-(8y^3)/(27)-2x^2y+(4xy^2)/(3)`

प्रश्न 7: उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:

(a) 99³

उत्तर: `99^3=(100 – 1)^3`

मान लीजिए, `x = 100` और `y = 1`

सर्वसमिका `(x – y)^3= x^3 - y^3 - 3x^2y + 3xy^2` का प्रयोग करने पर

`(100-1) ^3`

`=100^3 - 1^3 - 3 xx (100^2) xx 1 + 3 xx 100 xx 1^2`

`= 1000000 – 1 -30000 + 300`

`= 1000000 + 300 – 1 – 30000 = 970299`

(b) 102³

उत्तर: `102^3= (100 + 2)^3`

मान लीजिए, `a = 100` और `b = 2`

सर्वसमिका `(a + b)^3= a^3+ b^3 + 3ab(a + b)` का प्रयोग करने पर

`100^3 + 2^3 + 3 xx 100 xx 2(100 + 2)`

`= 1000000 + 8 + 600 xx 102`

`= 1000000 + 8 + 61200= 1000008 + 61200 = 1061208`

उत्तर: `998^3=(1000 – 2)^3`

मान लीजिए, `a = 1000` और `b = 2`

सर्वसमिका `(a – b)^3= a^3 - b^3 - 3a^2\b + 3ab^2` का प्रयोग करने पर

`1000^3 - 2^3 - 3 xx 1000^2\ xx 2 + 3 xx 1000 xx 2^2`

`= 1000000000 – 8 – 6000000 + 12000= 994011992`

प्रश्न 8: निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए:

(a) `8a³+b^3+12a^2b+6ab^2`

उत्तर: दिया गया है: `8a^3 + b^3 + 12a^2\b + 6ab^2`

`= (2a)^3 + b^3 + 3(2a)^2\b + 3(2ab^2)`

मान लीजिए `x = 2a` और `y = b`

सर्वसमिका `(x + y)^3= x^3 + y^3 + 3x^2\y + 3xy^2` का प्रयोग करने पर

`(2a + b)^3 = (2a + b)(2a + b)(2a + b)`

(b) `8a^3-b^3-12a^2b+6ab^2`

उत्तर: दिया गया है: `8a^3 - b^3 - 12a^2\b + 6ab^2`

`= (2a)^3 - b^3 - 3(2a)^2\b + 3(2a)b^2`

मान लीजिए `x = 2a` और `y = b`

सर्वसमिका `(x – y)^3= x^3 - y^3 - 3x^2\y + 3xy^2` का प्रयोग करने पर

`(2a – b)^3 = (2a – b)(2a - b)(2a – b)`

उत्तर: दिया गया है `27 – 125a^3 - 135a + 225a^2`

`= 3^3 - (5a)^3 - 3 xx 3^2\ xx 5a + 3 xx (5a)^2\ xx 3`

मान लीजिए, `x = 3` और `y = 5a`

सर्वसमिका `(x – y)^3= x^3 - y^3 - 3x^2\y + 3xy^2` का प्रयोग करने पर

`(3 – 5a)^3= (3 – 5a)(3 – 5a)(3 – 5a)`

(d) `64a^3-27b^3-144a^2b+108ab^2`

उत्तर: दिया गया है: `64a^3 - 27b^3 - 144a^2\b + 108ab^2`

`= (4a)^3 - (3b)^3 - 3 xx (4a)^2\b + 3 xx a xx (3b)^2`

मान लीजिए, `x = 4a` और `y = 3b`

सर्वसमिका `(x – y)^3= x^3 - y^3 - 3x^2\y + 3xy^2` का प्रयोग करने पर

`(4a – 3b)^3= (4a – 3b)(4a – 3b)(4a – 3b)`

(e) `27p^3-1/(216)-9/2p^2+1/4p`

उत्तर: दिया गया है, `27p^3-(1)/(216)-9/2\p^2+1/4\p`

`=(3p)^3-(1/6)^3-3(3p)^2\xx1/6+3xx3pxx(1/6)^2`

सर्वसमिका `(x-y)^3=x^3-y^3-3x^2\y+3xy^2` का प्रयोग करने पर

`(3p-1/6)^3=(3p-1/6)(3p-1/6)(3p-1/6)`

प्रश्न 9: सत्यापित कीजिए:

(a) `x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)`

उत्तर: RHS = `(x + y)(x^2 - xy + y^2`

`= x^3 - x^2\y + xy^2 + yx^2 - xy^2 + y^3`

`= x^3 + y^3` = LHS सिद्ध हुआ

(b) `x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)`

उत्तर: RHS `= (x - y)(x^2 + xy + y^2`

`= x^3 + x^2\y + xy^2 - yx^2 - xy^2 - y^3`

`= x^3 - y^3` = LHS सिद्ध हुआ

प्रश्न 10: निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए:

(a) `27y^3+125z^3`

उत्तर: दिया गया है: `27y^3 + 125z^3`

`= (3y)^3 + (5z)^3`

सर्वसमिका `x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)` का प्रयोग करने पर

`27y^3 + 125z^3`

`= (3y + 5z)[(3y)^2 - 3y\xx5z + (5z)^2]`

`= (3y + 5z)(9y^2 - 15yz + 25z^2)`

(b) `64m^3-343n^3`

उत्तर: दिया गया है; `64m^3 - 343n^3`

`= (4m – 7n)[(4m)^2 + 4m\xx7n + (7n)^2]`

`= (4m – 7n)(16m^2 + 28mn + 49n^2)`

प्रश्न 11: गुणनखंडन कीजिए: `27x^3+y^3+z^3-9xyz`

उत्तर: दिया गया है; `27^3 + y^3 + z^3 - 9xy\z`

`= (3x)^3 + y^3 + z^3 - 3xx3xy\z`

सर्वसमिका `x^3 + y^3 + z^3 - 3xy\z``= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy – yz – xz)` का प्रयोग करने पर

`(3x + y + z)[(3x)^2 + y^2 + z^2 - 3xy – yz – 3xz]`

`= (3x + y + z)(9x^2 + y^2 + z^3 - 3xy – yz – 3xz)`

प्रश्न 12: सत्यापित कीजिए: `x^3+y^3+z^3-3xyz=1/2(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]`

उत्तर: RHS `= ½(x + y + z)[(x – y)^2 + ( y – z)^2 + (z – x)^2]`

सर्वसमिका `(a – b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab` का प्रयोग करने पर

`½(x + y + z)[(x^2 + y^2 - 2xy) + (y^2 + z^2 - 2yz) + (z^2 + x^2 - 2xz)]`

`= ½(x + y + z)(x^2 + y^2 - 2xy + y^2 + z^2 - 2yz + x^2 + z^2 - 2xz)`

`= ½(x + y + z)(x^2 + x^2 + y^2 + y^2 + z^2 - 2xy – 2yz – 2xz)`

`= ½(x + y + z).2(x^2 + y^2 + z^2 - xy – yz – xz)`

`= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy – yz – xz`

`= x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz` = LHS

प्रश्न 13: यदि `x+y+z=0` हो, तो दिखाइए कि `x^3+y^3+z^3=3xyz` है।

उत्तर: हम जानते हैं, `x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz`

`= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy – yz – xz)`

`(x + y + z) = 0` रखने पर

`(0)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – xz)`

या, `x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0`

या, `x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz` सिद्ध हुआ

प्रश्न 14: वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए:

(a) (-12)³ + 7³ + 5³

उत्तर: दिया गया है `( - 12)^3 + 7^3 + 5^3`

मान लीजिए, `- 12 = x, 7 = y` और `5 = z`

अब, `x + y + z = – 12 + 7 + 5 = 0`

हम जानते है कि यदि `(x + y + z) = 0`

तो, `x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz`

इसलिए, `(- 12)^3 + 7^3 + 5^3 = 3 xx ( - 12)xx7xx5`

`= 3 xx ( - 420) = - 1260`

(b) 28³ + (-15)³ + (-13)³

उत्तर: दिया गया है; `28^3 + ( - 15)^3 + ( - 13)^3`

मान लीजिए, `28 = x, ( - 15) = y` और `( - 13) = z`

अब, `x + y + z = 28 – 15 – 13 = 0`

या, `x + y + z = 0`

हम जानते हैं कि यदि `(x + y + z) = 0`

तो, `x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz`

इसलिए, `28^3 + ( - 15)^3+ ( - 13)^3`

`= 3 xx 28 xx ( - 15) ( - 13)= 84 xx 195 = 16380`

प्रश्न 15: नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए:

(a) क्षेत्रफल: `25a^2-35a+12`

उत्तर: दिया गया है, `25a^2 - 35a + 12`

बीच वाले पद को तोड़ने पर:

`25a^2 - 15a – 20a + 12`

`= 5a(5a – 3) – 4(5a – 3)`

`= (5a – 3)(5a – 4)`

इसलिए संभावित लंबाई `= 5a – 3`

संभावित चौड़ाई `= 5a – 4`

(b) क्षेत्रफल: `35y^2+13y-12`

उत्तर: दिया गया है, `35y^2 + 13y – 12`

बीच वाले पद को तोड़ने पर:

`= 35y^2 + 28y – 15y – 12`

`= 7y(5y + 4) – 3(5y + 4)`

`= (5y + 4)(7y – 3)`

इसलिए संभावित लंबाई `= 5y + 4`

संभावित चौड़ाई `= 7y – 3`

प्रश्न 16: घनाभों, जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं कि विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं:

(a) आयतन: `3x^2-12x`

उत्तर: दिया गया है, `3x^2 - 12x`

`= 3x(x – 4)`

हम जानते हैं कि आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई

इसलिए संभावित लंबाई = 3

संभावित चौड़ाई `= x`

संभावित ऊँचाई `= (x – 4)`

(b) आयतन: `12ky^2+6ky-20k`

उत्तर: दिया गया है, `12ky^2 + 8ky – 20k`

`= 4k(3y^2 + 2y – 5)`

`=4k(3y^2 - 3y + 5y – 5)`

`= 4k[3y(y – 1) + 5(y – 1)]`

`= 4k((y – 1)(3y + 5)`

हम जानते हैं कि आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई

इसलिए, संभावित लंबाई `= 4k`

संभावित चौड़ाई `= (y – 1)`

संभावित ऊँचाई `= (3y + 5)`