राशियों की तुलना

चक्रवृद्धि ब्याज

NCERT अभ्यास 8.3

प्रश्न 1: निम्नलिखित के लिए कुल राशि एवं चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए

(a) 10,800 रु पर 3 वर्ष के लिए `12\1/2` % की वार्षिक दर से वार्षिक रूप से संयोजित करने पर।

उत्तर: `A = P(1+(R)/(100))^t`

P = 10800, R `=12(1)/(2)%` और t = 3 वर्ष

इसलिए, `A = 10800(1+(25)/(200))^3`

`=10800(1+1/8)^3`

`=10800(9/8)^3`

`=10800xx9/8xx9/8xx9/8=15377.34`

इसलिए, ब्याज `= A –P`

`=15377.54-10800=4577.34`

(b) 18,000 रु पर `2\1/2` वर्ष के लिए 10% वार्षिक दर से वार्षिक रूप से संयोजित करने पर।

उत्तर: Amount `=18000(1+(10)/(100))^2`

`=18000xx(11)/(10)xx(11)/(10)=21780`

2 वर्ष के बाद ब्याज `=21780-18000=3780`

आधे वर्ष के बाद ब्याज `=21780xx(10)/(100)xx1/2=1089`

2.5 वर्ष के बाद कुल ब्याज `=3780+1089=4869`

उत्तर: 1.5 वर्ष के बाद राशि `=62500(1+(4)/(100))^3`

ब्याज हर छ: महीने पर संयोजित होता है इसलिए दर को आधा कर दिया गया है और समय को दोगुना कर दिया गया है।

`=62500xx(26)/(25)xx(26)/(25)xx(26)/(25)=70304`

इसलिए ब्याज `=70304-62500=7804`

(d) 8,000 रु पर 1 वर्ष के लिए 9% वार्षिक दर से अर्धवार्षिक रूप से संयोजित करने पर।

उत्तर: `A=8000(1+(9)/(200))^2`

`=8000xx(209)/(200)xx(209)/(200)=8736.20`

इसलिए ब्याज `=8736.20-8000=736.20`

(e) 10,000 रु पर 1 वर्ष के लिए 8% वार्षिक दर से अर्धवार्षिक रूप से संयोजित करने पर।

उत्तर: `A=10000(1+(4)/(100))^2`

`=10000xx(26)/(25)xx(26)/(25)=10816`

इसलिए ब्याज `=10816-10000=816`

दूसरा तरीका: बड़े बड़े गुणा करने में मुश्किल हो सकती है। इसलिए आसानी के लिए हर वर्ष का ब्याज अलग अलग करके उन्हें जोड़कर चक्रवृद्धि ब्याज निकाला जा सकता है। 1st पहले वर्ष की राशि `10000+400=10400`

दूसरे वर्ष की राशि `10400+416=10816`

प्रश्न 2: कमला ने एक स्कूटर खरीदने के लिए किसी बैंक से 26400 रु 15% वार्षिक दर से उधार लिए जबकि ब्याज वार्षिक संयोजित होना है। 2 वर्ष और 4 महीने के अंत में उधार चुकता करने के लिए उसे कितनी राशि का भुगतान करना पड़ेगा?

(संकेत: ब्याज को वार्षिक संयोजित करते हुए पहले 2 वर्ष के लिए कुल राशि ज्ञात कीजिए और दूसरे वर्ष की कुल राशि पर `4/(12)` वर्ष का साधारण ब्याज ज्ञात कीजिए।)

उत्तर: पहले वर्ष के अंत में राशि = `26400 + 3960 = 30360`

दूसरे वर्ष के अंत में राशि = `30360 + 4554 = 34914`

इसे और आसान बनाने के लिए ब्याज 10% और 5% के दो अलग अलग भागों में भी पता किया जा सकता है

पहला वर्ष = `26400 + 2640 + 1320 = 30360`

दूसरा वर्ष = `30360 + 3036 + 1518 = 34914`

`A=26400(1+(15)/(100))^2`

`=26400xx(23)/(20)xx(23)/(20)=34914`

प्रश्न 3: फैबिना ने 12,500 रु 3 वर्ष के लिए 12% वार्षिक दर से साधारण ब्याज पर उधार लिए और राधा ने उतनी ही राशि उतने ही समय के लिए 10% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर उधार ली जबकि ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होना है। किसे अधिक ब्याज का भुगतान करना है और कितना अधिक करना है?

उत्तर: फैबिना का ब्याज `=(P\xx\t\xx\r)/(100)`

`=(12500xx3xx12)/(100)=4500`

राधा की राशि `=12500(1+(10)/(100))^3`

`=12500xx(11)/(10)xx(11)/(10)xx(11)/(10)=16637.50`

राधा का ब्याज `= 16637.50-12500=4137.50`

इसलिए फैबिना ने राधा से 362.50 रु अधिक भुगतान किया

प्रश्न 4: मैंने जमशेद से 12,000 रु 2 वर्ष के लिए 6% वार्षिक दर से साधारण ब्याज पर उधार लिए। यदि मैंने यह राशि 6% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर उधार ली हुई होती तो मुझे कितनी अतिरिक्त राशि का भुगतान करना पड़ता?

उत्तर: अतिरिक्त राशि पहले वर्ष की राशि पर ब्याज के बराबर होगी

पहले वर्ष का ब्याज `= 12000xx6%=720`

अब 720 रु पर ब्याज `=720xx6%=43.20`

इसलिए अतिरिक्त राशि = Rs. 43.20

प्रश्न 5: वासुदेवन ने 12% वार्षिक दर से 60,000 रु का निवेश किया। यदि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है तो ज्ञात कीजिए कि वह 6 महीने के अंत में, एक वर्ष के अंत में, कुल कितनी राशि प्राप्त करेगा?

(i) 6 महीने के अंत में

उत्तर: Amount `= 60000+60000 xx 6%=60000+3600=63600`

(ii) 1 वर्ष के अंत में

उत्तर: Amount `= 63600+63600 xx6% = 63600+3816=67416`

प्रश्न 6: आरिफ ने एक बैंक से 80,000 रु का कर्ज लिया। यदि ब्याज की दर 10% वार्षिक है तो `1\1/2` वर्ष के पश्चात उसके द्वारा भुगतान की जाने वाली राशियों में अंतर ज्ञात कीजिए। यदि ब्याज वार्षिक संयोजित होता है, अर्धवार्षिक संयोजित होता है।

(i) जब ब्याज वार्षिक संयोजित होता है

उत्तर: एक वर्ष के अंत में राशि `=80000+80000 xx10%=80000+8000=88000`

अगले 6 महीने का ब्याज `= 88000 xx 5%=4400`

1.5 वर्ष के अंत में राशि `= 88000+4400 = 92400`

(ii) ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है

उत्तर: ब्याज की दर आधी हो जाएगी और समय 3 छमाही हो जाएगा

Amount `=80000(1+(5)/(100))^3`

`=80000xx(21)/(20)xx(21)/(20)xx(21)/(20)=92610`

प्रश्न 7: मारिया ने किसी व्यापार में 8000 रु का निवेश किया। उसे 5% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज का भुगतान किया जाएगा। यदि ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है तो दो वर्ष के अंत में उसके नाम से जमा की गई राशि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: Amount `=8000(1+(5)/(100))^2`

`=9000xx(21)/(20)xx(21)/(20)=8820`

2 वर्ष के बाद ब्याज `= 8820-8000=820`

(ii) तीसरे वर्ष का ब्याज ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीसरे वर्ष का ब्याज `= 8820 xx 5%=441`

प्रश्न 8: 10,000 रु पर `1\1/2` वर्ष के लिए 10% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज और कुल राशि ज्ञात कीजिए जबकि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होना है। क्या यह ब्याज उस ब्याज से अधिक होगा जो उसे वार्षिक रूप से संयोजित करने पर प्राप्त होगा?

उत्तर: Amount `=10000(1+(5)/(100))^3`

`=10000xx(21)/(20)xx(21)/(20)xx(21)/(20)=11576.25`

ब्याज `= 11576.25-10000=1576.25`

किसी भी दिए गए दर के लिए वार्षिक संयोजित होने वाले ब्याज की तुलना में हमेशा अर्धवार्षि संयोजित होने वाला ब्याज अधिक होता है।

प्रश्न 9: यदि राम 4096 रु 18 महीने के लिए `12\1/2` % वार्षिक दर पर उधार देता है और ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है तो ज्ञात कीजिए कि राम कुल कितनी राशि प्राप्त करेगा।

उत्तर: Amount `=4096(1+(25)/(400))^3`

`=4096xx(17)/(16)xx(17)/(16)xx(17)/(16)=4913`

प्रश्न 10: 5% वार्षिक दर से बढ़ते हुए वर्ष 2003 के अंत में एक स्थान की जनसंख्या 54,000 हो गई। निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:

(a) वर्ष 2001 की जनसंख्या

उत्तर: मान लीजिए कि 2001 की जनसंख्या = P

इसलिए `54000=P(1+(5)/(100))^2`

या, `54000=P\xx(21)/(20)xx(21)/(20)`

या, `P=54000xx(20)/(21)xx(20)/(21)=48979.5`

= 48980 पूर्णांक में

(b) वर्ष 2005 में कितनी जनसंख्या होगी?

उत्तर: 2005 में जनसंख्या `=54000xx(21)/(20)xx(21)/(20)=59535`

प्रश्न 11: एक प्रयोगशाला में, किसी निश्चित प्रयोग बैक्टीरिया की संख्या 2.5% प्रति घंटे की दर से बढ़ रही है। यदि प्रयोग के शुरु में बैक्टीरिया की संख्या 506,000 थी तो 2 घंटे के अंत में बैक्टीरिया की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बैक्टीरिया की वृद्धि हर घंटे संयोजित होगी

इसलिए 2 घंटे के बाद संख्या `=506000xx(1+(25)/(1000))^2`

`=506000xx(41)/(40)xx(41)/(40)=531616` (लगभग)

प्रश्न 12: एक स्कूटर 42,000 रु में खरीदा गया। 8% वार्षिक दर से इसके मूल्य का अवमूल्यन हो गया। 1 वर्ष के बाद स्कूटर का मूल्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 1 वर्ष के बाद स्कूटर की कीमत

`= 42000-42000 xx 8% = 42000-3360 = 38640`