चतुर्भुज
NCERT अभ्यास 3.3
प्रश्न 1: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। प्रत्येक कथन को परिभाषा या प्रयोग किए गए गुण द्वारा पूरा कीजिए
उत्तर: (a) AD = सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं
(b) ∠DCB = सम्मुख कोण बराबर हैं
(c) OC = विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
(d) ∠DAB + ∠CDA = 180°
प्रश्न 2: निम्न समांतर चतुर्भुजों में अज्ञात के मानों को ज्ञात कीजिए
(i)
उत्तर: यहाँ, `x = 180° - 100° = 80°`
समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं
इसलिए, `y = 100°` और `z = 80°`
(ii)
उत्तर: x, y और z कोण 50° के पूरक हैं
इसलिए अभीष्ट कोण `= 180° - 50° = 130°`
(iii)
उत्तर: सम्मुख कोण z = 80°
x और y पूरक कोण हैं
इसलिए, x और y `= 180° - 80° = 100°`
(iv)
उत्तर: किसी रेखा के एक ही ओर के कोण पूरक होते हैं
इसलिए, `x = 90°`
इसलिए, `y = 180° - (90° + 30°) = 60°`
दी गई आकृति में सबसे ऊँचे शीर्ष का कोण `= 60° xx 2=120°`
इसलिए सबसे निचले शीर्ष का कोण = 120° और `z = 60°`
(v)
उत्तर: y= 112°, चूँकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं
चूँकि आसन्न कोण बराबर होते हैं इसलिए निचले शीर्ष का कोण
`=180°-112°=68°`
इसलिए, `z=68°-40°=28°`
दूसरा तरीका:
कोण x और z तिर्यक रेखा पर बने एकांतर कोण हैं, इसलिए दोनों बराबर हैं
प्रश्न 3: क्या एक चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज हो सकता है यदि
(i) ∠D + ∠B = 180°?
उत्तर: (i) ऐसा हो सकता है लेकिन जरूरी नहीं कि हमेशा हो। हमें अन्य शर्तों को देखना होता है।
(ii) AB = DC = 8 cm, AD = 4 cm और BC 4.4 cm?
उत्तर: (ii) समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। लेकिन यहाँ पर AD और BC बराबर नहीं हैं। इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज नहीं है।
(iii) ∠A = 70° और ∠C = 65° ?
उत्तर: (iii) सम्मुख कोण बराबर नहीं हैं। इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज नहीं है।
प्रश्न 4: एक चतुर्भुज की कच्ची आकृति खींचिए जो समांतर चतुर्भुज न हो परंतु जिसके दो सम्मुख कोणों के माप बराबर हों।
उत्तर: एक पतंग
प्रश्न 5: किसी समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात 3:2 है। समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
उत्तर: समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण पूरक होते हैं, यानि उनका योग 180° होता है।
इसलिए, `180°= 3x + 2x`
या, `5x = 180°`
या, `x = 36°`
इसलिए, कोणों के मान हैं `36° xx 3 = 108°`
और `36° xx 2 = 72°`
प्रश्न 6: किसी समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों के माप बराबर हैं। समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 90°, क्योंकि दोनों का योग 180° होता है और चारों कोणों का मान 360 डिग्री होता है
प्रश्न 7: संलग्न आकृति HOPE एक समांतर चतुर्भुज है। x, y और z कोणों की माप ज्ञात कीजिए। ज्ञात करने में प्रयोग किए गए गुणों को बताइए।
उत्तर : `y` का सम्मुख कोण `= 180° - 70°=110°`
इसलिए, `y = 110°`
`x = 180° - (110° + 40°) = 30°` (त्रिभुज के कोणों का योग)
`z = 30°` (एकांतर कोण)
प्रश्न 8: निम्न आकृतियाँ GUNS और RUNS समांतर चतुर्भुज हैं। x तथा y ज्ञात कीजिए (लंबाई सेमी में है)
उत्तर: समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं
इसलिए, `3y – 1 = 26`
या, `3y = 27`
या, `y = 9`
इसी तरह, `3x = 18`
या, `x = 6`
उत्तर: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजी होते हैं
इसलिए, `y + 7 = 20`
या, `y = 20 – 7 = 13`
अब, `x + y = 16`
या, `x + 13 = 16`
या, `x = 16 – 13 = 3`
प्रश्न 9: दी गई आकृति में RISK तथा CLUE दोनों समांतर चतुर्भुज हैं, x का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर: समांतर चतुर्भुज RISK में
`∠ISK = 180° - 120° = 60°`
इसी तरह समांतर चतुर्भुज CLUE में
`∠CEU = 180° - 70° = 110°`
अब त्रिभुज में
`x = 180° - (110° - 60°) = 10°`