चतुर्भुज

NCERT अभ्यास 3.2

प्रश्न 1: निम्नलिखित आकृतियों में x का मान ज्ञात कीजिए

उत्तर: बहुभुज के बाहरी कोणों का योग = 360⁰

इसलिए, `125° + 125° + x = 360°`

या, `250° + x = 360°`

या, `x = 360° = 250° = 110°`

उत्तर:

बहुभुज के बाहरी कोणों का योग = 360⁰

इसलिए, `70° + x + 90° + 60° + 90° = 360°`

या, `310° + x = 360°`

या, `x = 360° - 310° = 50°`

प्रश्न 2: एक सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का मान ज्ञात कीजिए जिसकी

(a) 9 भुजाएँ

उत्तर: चूँकि, 9 भुजाओं वाले बहुभुज के 9 कोण होते हैं, और बहुभुज के बाहरी कोणों का योग = 360⁰

इसलिए, 9 बाहरी कोण = 360°

या, 1 बाहरी कोण `= 360°÷9 = 40°`

(b) 15 भुजाएँ हों

उत्तर: 15 भुजाओं वाले बहुभुज के 16 कोण होते हैं, और बहुभुज के बाहरी कोणों का योग = 360⁰

इसलिए, 15 बाहरी कोण = 360°

या, 1 बाहरी कोण `= 360°÷15 = 24°`

प्रश्न 3: एक सम बहुभुज की कितनी भुजाएँ होंगी यदि एक बाह्य कोण का माप 24° हो?

उत्तर:किसी बहुभुज के कोणों की संख्या = बहुभुज की भुजाओं की संख्या, और किसी बहुभुज के बाहरी कोणों का योग = 360⁰

हर कोण की माप = 24°

यानि बाहरी कोणों की संख्या `= 360°÷24° = 15`

इसलिए भुजाओं की संख्या = 15

प्रश्न 4: एक सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए यदि इसका प्रत्येक अंत:कोण 165° का हो?

उत्तर: यहाँ पर हर आंतरिक कोण = 165°

इसलिए हर बाहरी कोण = 180° - 165° = 15°

इसलिए भुजाओं की संख्या `= 360°÷15° = 24`

प्रश्न 5: क्या ऐसा सम बहुभुज संभव है जिसके प्रत्येक बाह्य कोण का माप 22 हो?

उत्तर:
बहुभुज के भुजाओं की संख्या = 360° ÷ प्रत्येक बाहरी कोण

इसलिए दिए गए बहुभुज के भुजाओं की संख्या `= 360°÷22° = 16.36`

यह एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए बाहरी कोण का 22⁰ का मान संभव नहीं है

क्या यह किसी सम बहुभुज का अंत:कोण हो सकता है? क्यों?

उत्तर: प्रत्येक आंतरिक कोण = 22°

इसलिए प्रत्येक बाहरी कोण `= 180° - 22° = 158°`

भुजाओं की संख्या `= 360°÷158° = 2.27`

यह एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए ऐसा बहुभुज संभव नहीं जिसका प्रत्येक आंतरिक कोण 22⁰ हो

प्रश्न 6: किसी सम बहुभुज में कम से कम कितने अंश का अंत:कोण संभव है? क्यों?

उत्तर: सबसे कम भुजाओं वाला बहुभुज एक त्रिभुज होता है। एक समबाहु त्रिभुज एक समहुभुज होता है। समबाहु त्रिभुज के हर कोण का मान 60 डिग्री होता है। इसलिए 60 डिग्री सही उत्तर है।

किसी सम बहुभुज में अधिक से अधिक कितने अंश का बाह्य कोण संभव है?

उत्तर: किसी समबाहु त्रिभुज का हर बाहरी कोण 120 डिग्री होता है। यही सही उत्तर है। दूसरे तरीके से देखें तो 360 को भुजाओं की संख्या से भाग देने पर प्रत्येक बाह्य कोण का मान पता चलता है। इसके सबसे अधिक मान के लिए भुजाओं की संख्या सबसे कम होनी चाहिए, जो की तीन है यानि त्रिभुज की भुजाएँ हैं। 360 को 3 से भाग देने पर 120 आता है।