रैखिक समीकरण

NCERT अभ्यास 2.2

Part 1

प्रश्न 1: अगर आपको किसी संख्या से `1/2` घटाने और परिणाम को `1/2` से गुणा करने पर `1/8` प्राप्त होता है तो वह संख्या क्या है?

उत्तर: मान लीजिए कि दी गई संख्या m है

प्रश्न के अनुसार: (संख्या-`1/2`) `xx1/2=1/8`

या, `(m-1/2)xx1/2=1/8`

दोनों तरफ `1/2` से भाग देने पर

`(m-1/2)xx1/2÷1/2=1/8÷1/2`

या, `(m-1/2)xx1/2xx2/1=1/8xx2/1`

या, `m-1/2=1/4`

`-1/2` को RHS में लाने पर

`m=1/4+1/2`

या, `m=(1+2)/(4)`

या, `m=3/4`

प्रश्न 2: एक आयताकार तरण ताल की लंबाई उसकी चौड़ाई के दुगुने से 2 मीटर अधिक है। यदि इसका परिमाप 154 मीटर है तो इसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है , आयताकार तरण ताल का परिमाप = 154 m

लंबाई दी गई चौड़ाई के दुगुने से 2 मी अधिक है

मान लीजिए कि तरण ताल की चौड़ाई = a मीटर

इसलिए तरण ताल की चौड़ाई `= (2a + 2)` मीटर

हम जानते हैं कि आयत का परिमाप = 2 (लंबाई + चौड़ाई)

इसलिए, `154= 2 [ (2a + 2) + a]`

`⇒ 154 m = 2(2a + 2 + a )`

`⇒ 154 m = 2 (3a + 2)`

`⇒ 154 m = 6a + 4`

दोनों तरफ से 4 घटाने पर

`154 m – 4 = 6a + 4 – 4`

`⇒ 150 m = 6a`

दोनों तरफ 6 से भाग देने पर

`⇒(150)/(6)m=(6a)/(a)`

`⇒ 25 m = a`

`⇒ a = 25 m`

चूँकि लम्बाई `= (2a + 2) m`

इसलिए चौड़ाई (a) का मान रखने पर

`(2 xx 25 + 2) m= (50 + 2) m = 52 m`

इसलिए तरण ताल की लम्बाई = 52 m और चौड़ाई = 25 m

प्रश्न 3: एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार `4/3` सेमी तथा उसका परिमाप `42/(15)` सेमी है। उसकी दो बराबर भुजाओं की माप ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है, समद्विबाहु त्रिभुज का आधार `=4/3` cm

परिमाप `=4(2)/(15) cm=(62)/(15)cm`

हम जानते हैं कि समद्विबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर होती हैं।

इसलिए समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = दो बराबर भुजाओं का योग + तीसरी भुजा

तीसरी भुजा की लम्बाई `=4/3` cm

इसलिए परिमाप = 2a + `4/3` cm

या, `(62)/(15) cm=2a+4/3cm`

दोनो तरफ से `4/3` घटाने पर

`(62)/(15) cm-4/3cm=2a+4/3cm-4/3cm`

या, `(62)/(15)cm-4/3cm=2a`

या, `(62-20)/(15)cm=2a`

या, `(42)/(15)cm=2a`

दोनों तरफ 2 से भाग देने पर

`(2a)/(2)=(42)/(15)cm÷2`

या, `a=(21)/(15)` cm

प्रश्न 4: दो संख्याओं का योग 95 है। यदि एक संख्या दूसरी से 15 अधिक है तो दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि एक संख्या a है

इसलिए दूसरी संख्या `= a + 15`

दिया गया है कि दोनों संख्याओं का योग = 95

इसलिए `a + a + 15 = 95`

`⇒ 2a + 15 = 95`

दोनों तरफ से 15 घटाने पर

`2a + 15 – 15 = 95 – 15`

`⇒ 2a = 95 – 15`

`⇒ 2a = 80`

दोनों तरफ 2 से भाग देने पर

`(2a)/(2)=(80)/(2)`

या, `a=40`

दूसरी संख्या `= a + 15`

इसमें a का मान रखने पर

दूसरी संख्या `= 40 + 15 = 55`

इसलिए पहली संख्या = 40 और दूसरी संख्या = 55

प्रश्न 5: दो संख्याओं में अनुपात 5:3 है। यदि उनमें अंतर 18 है तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है , दोनों संख्याओं का अनुपात 5:3 है

दोनों संख्याओं का अंतर = 18

मान लीजिए की पहली संख्या `=5x`

और दूसरी संख्या `=3x`

प्रश्न के अनुसार `5x-3x=18`

या, `2x=18`

दोनों तरफ 2 से भाग देने पर

`(2x)/(2)=(18)/(2)`

या, `x=9`

x का मान रखने पर दूसरी संख्या का मान इस तरह निकाला जा सकता है।

`5x=5xx9=45`

`3x=3xx9=27`

प्रश्न 6: तीन लगातार पूर्णांकों का योग 51 है। पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि पहला पूर्णांक = a

इसलिए दूसरा पूर्णांक `= a + 1`

और तीसरा पूर्णांक `= a + 2`

दिया गया है, दिए गए पूर्णांकों का योग = 51

इसलिए e, `a + (a +1) + (a + 2) = 51`

`⇒ a + a + 1 + a + 2 = 51`

`⇒ a + a + a + 1 + 2 = 51`

`⇒ 3a + 1 + 2 = 51`

`⇒ 3a + 3 = 51`

दोनों तरफ से 3 घटाने पर

`3a + 3 – 3 = 51 – 3`

`⇒ 3a = 51 – 3`
`⇒ 3a = 48`

दोनों तरफ 3 से भाग देने पर

`(3a)/(3)=(48)/(3)`

या , `a=16`

अब, दूसरा पूर्णांक `= a + 1`

इसलिए a का मान रखने पर दूसरा पूर्णांक `= 16 + 1 = 17`

इसी तरीके से तीसरा पूर्णांक `= a + 2 = 16 + 2 = 18`

इसलिए तीन लगातार पूर्णांक हैं 16, 17 और 18

प्रश्न 7: 8 के तीन लगातार गुणजों का योग 888 है। गुणजों को ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि 8 का पहला गुणज `= 8a`

इसलिए दूसरा गुणज `= 8 ( a + 1)`

और तीसरा गुणज `= 8 ( a + 2 )`

दिया गया है कि 8 के तीन लगातार गुणजों का योग 888 है।

इसलिए, `8a + [8 (a + 1)] + [8 (a + 2)] = 888`

`⇒ 8a + (8a + 8) + (8a + 16) = 888`

`⇒ 8a + 8a + 8 + 8a + 16 = 888`

`⇒ 8a + 8a + 8a + 8 + 16 = 888`

`⇒ 24a + 24 = 888`

अब 24 को RHS की ओर ले जाने पर,

`⇒ 24a = 888 – 24`

`⇒ 24a = 864`

दोनों तरफ 24 से भाग देने पर

`(24a)/(24)=(864)/(24)`

या , `a=(864)/(24)=36`

8 का पहला गुणज `= 8a`

दूसरा गुणज `= 8(a + 1)`

और तीसरा गुणज `= 8 (a + 2)`

इसलिए a का मान रखने पर

8 का पहला गुणज `= 8a = 8 xx 36 = 288`

दूसरा गुणज `= 8 (a + 1) = 8 (36 + 1) = 8 xx 37 = 296`

तीसरा गुणज `= 8 (a + 2) = 8 (36 + 2) = 8 xx 38 = 304`

इसलिए 8 के तीन लगातार गुणज = 288, 296 और 304

प्रश्न 8: तीन लगातार पूर्णांक बढ़ते क्रम में लेकर उन्हें क्रमश: 2, 3 तथा 4 से गुणा कर योग करने पर योगफल 74 प्राप्त होता है। तीनों पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि पहला पूर्णांक = a

इसलिए दूसरा पूर्णांक `= a + 1`

और तीसरा पूर्णांक `= a + 2`

अब यदि इन पूर्णांकों को क्रमश: 2, 3 तथा 4 से गुणा करें तो गुनजों का योग 74 होत है।

इसलिए, `(axx2)+[(a+1)xx3]+[(a+2)xx4]=74`

या, `=2a+(3a+3)+(4a+8)=74`

या, `=2a+3a+3+4a+8=74`

या, `=2a+3a+4a+3+8=74`

या, `=9a+11=74`

दोनों तरफ से 11 घटाने पर

`9a+11-11=74-11`

या, `9a=63`

दोनों तरफ 9 से भाग देने पर

`(9a)/(9)=(63)/(9)`

या, `a=7`

बाकी पूर्णांकों का मान a का मान रखने पर पता किया जा सकता है।

दूसरा पूर्णांक `= a + 1 = 7 + 1 = 8`

तीसरा पूर्णांक `= a + 2 = 7 + 2 = 9`

इसलिए पूर्णांकों के मान हैं 7, 8 और 9