घन और घनमूल

NCERT अभ्यास 7.2

प्रश्न 1: अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या का घनमूल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: `64 = 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2`
`= 2^3 xx 2^3`

इसलिए 64 का घनमूल `=2xx2=4`

(ii) 512

उत्तर: `512 = 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2`
`= 2^3 xx 2^3 xx 2^3`

इसलिए 512 का घनमूल `=2xx2xx2=8`

(iii) 10648

उत्तर: `10648 = 2 xx 2 xx 2 xx 11 xx 11 xx 11`
`= 2^3 xx 11^3`

इसलिए 10648 का घनमूल `=2xx11=22`

(iv) 27000

उत्तर: `27000 = 2 xx 2 xx 2 xx 3 xx 3 xx 3 xx 5 xx 5 xx 5`
`= 2^3 xx 3^3 xx 5^3`

इसलिए 27000 का घनमूल `=2xx3xx5=30`

(v) 15625

उत्तर: `15625 = 5 xx 5 xx 5 xx 5 xx 5 xx 5`
`= 5^3 xx 5^3`

इसलिए 15625 का घनमूल `=5xx5=25`

(vi) 13824

उत्तर: `13824 = 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2`` xx 2 xx 2 xx 2 xx 3 xx 3 xx 3`
`= 2^3 xx 2^3 xx 2^3 xx 3^3`

इसलिए 13824 का घनमूल `=2xx2xx2xx3=24`

(vii) 110592

उत्तर: `110592 = 2^3 xx 2^3 xx 2^3 xx 2^3 xx 3^3`

इसलिए 110592 का घनमूल `=2xx2xx2xx2xx3=48`

(viii) 46656

उत्तर: `46656 = 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 2 ``xx 3 xx 3 xx 3 xx 3 xx 3 xx 3`
`= 2^3 xx 2^3 xx 3^3 xx 3^3`

इसलिए 46656 का घनमूल `=2xx2xx3xx3=36`

(ix) 175616

उत्तर: `175616 = 2^3 xx 2^3 xx 2^3 xx 7^3`

इसलिए 175616 का घनमूल `=2xx2xx2xx7=56`

(x) 91125

उत्तर: `91125 = 5^3 xx 3^3 xx 3^3`

इसलिए 91125 का घनमूल `=5xx3xx3=45`

प्रश्न 2: बताइए सत्य है या असत्य

किसी भी विषम संख्या का घन सम होता है।
एक पूर्ण घन दो शून्यों पर समाप्त नहीं होता है।
यदि किसी संख्या का वर्ग 5 पर समाप्त होता है, तो उसका घन 25 पर समाप्त होता है।
ऐसा कोई पूर्ण घन नहीं है जो 8 पर समाप्त होता है।
दो अंकों की संख्या का घन तीन अंकों वाली संख्या हो सकती है।
दो अंकों की संख्या के घन में सात या अधिक अंक हो सकते हैं।
एक अंक वाली संख्या का घन एक अंक वाली संख्या हो सकती है।

उत्तर: (a) F, (b) T, (c) T, (d) F, (e) F, (f) F, (g) T

प्रश्न 3: आपको यह बताया जाता है कि 1331 एक पूर्ण घन है। क्या बिना गुणनखंड किए आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि इसका घनमूल क्या है? इसी प्रकार 4913, 12167 और 32768 के घनमूलों के अनुमान लगाइए।

उत्तर: 1331 को दाएँ और बाएँ से दो संख्याओं के दो समूहों में बाँट लेते हैं, यानि 31 और 13

हम जानते हैं कि 1³= 1

इसलिए 1331 के घनमूल का इकाई स्थान का अंक = 1

अब 2³= 8 और 3³= 27

यह साफ है कि 8 < 13 < 27

इसलिए 1331 के घनमूल का दहाई स्थान का अंक 2 हो सकता है।

लेकिन 21³= 9261 है जो 1331 के बराबर नहीं है

इसलिए दहाई के स्थान पर 1 को रखकर जाँच करते हैं।

11³= 1331 जो दी हुई संख्या के बराबर है।

4913:

दाहिना समूह = 13

बायाँ समूह = 49

अब 7³ के इकाई के स्थान पर 3 आता है

इसलिए 4913 के घनमूल के इकाई स्थान पर 7 होगा।

अब बाएँ समूह की जाँच करते हैं

3³= 27 और 4³= 64

27 < 49 < 64

इसलिए 4913 के घनमूल के दहाई का अंक 3 हो सकता है।

लेकिन 37³ = 50653 जो 4913 के बराबर नहीं है।

अब 27 की जाँच करते हैं

27³= 19683 ≠ 4913

अब 17 की जाँच करते हैं

17³= 4913 जो दी हुई संख्या के बराबर है